数列の和と一般項の関係

問題

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が次の式で与えられているとき、一般項$a_n$を求めよ。

解説

数列の和$S_n$から一般項$a_n$を求める問題について解説します。

$S_n$が与えられたとき、$a_n$はどうやって求めるんですか？

$S_n$は初項から第$n$項までの和だよね。

そこから$1$つ前の$S_{n-1}$を引けば、第$n$項だけが残るんだ。

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$なので、$S_{n-1} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}$です。

よって、$S_n - S_{n-1} = a_n$が成り立ちます。

ただし、$S_{n-1}$は$n \geqq 2$のときしか意味を持ちません。$n=1$のときは$S_0$が定義されていないので、$a_1 = S_1$として別に求める必要があります。

$n=1$のときの確認がとても大事なポイントだよ。忘れないようにしよう！

それでは問題を見ていきましょう。

$n \geqq 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$を使います。

次に、$n=1$のときを確認します。

一方、$4n+1$に$n=1$を代入すると $4 \cdot 1 + 1 = 5$ となり、一致しますね。

$n=1$でも同じ式が使えるんですね！

そう！$n=1$のときも成り立つから、まとめて1つの式で書けるよ。

よって、$a_n = \underline{4n+1}$

$n \geqq 2$のとき、同様に計算します。

$n=1$のときを確認します。

$2 \cdot 3^{n-1}$に$n=1$を代入すると $2 \cdot 3^0 = 2$ となり、一致します。

こちらも$n=1$で成り立つね！よって答えは1つの式でまとめられるよ。

よって、$a_n = \underline{2 \cdot 3^{n-1}}$

もし$n=1$のときに一致しなかったらどうなるんですか？

いい質問だね！その場合は場合分けして書く必要があるよ。

例えば、$n \geqq 2$で求めた式に$n=1$を代入して$3$になるのに、$a_1 = S_1 = 5$のような場合は、こう書くんだ。

今回の2問はどちらも$n=1$で一致するケースだったけど、一致しないケースも入試では頻出だから、必ず確認する癖をつけよう！

ここでは数列の和$S_n$から一般項$a_n$を求める方法について学習しました。

ポイントは$a_n = S_n - S_{n-1}$（$n \geqq 2$）で求めた後、$n=1$のときも成り立つかを必ず確認することです。

この確認を忘れると減点の原因になるので、しっかり身につけてくださいね！