等差数列②

問題

初項が$-5$、第$10$項が$22$である等差数列があるとき、

$(1)\quad 一般項a_nを求めよ$。

$(2)\quad 第n項までの和S_nを求めよ$。

解説

等差数列の問題を解説します。

はじめに、一般項の求め方を確認しておきましょう。

初項は$-5$ですが、公差がわからないですよね。どうやったら一般項を求められますか？

等差数列において、$2$つの値が分かっていればそれぞれを一般項の式に代入して立式すれば一般項を求めることができるよ。

今回の問題では、初項である${a_1}と{a_{10}}の値$が示されているため${a_{10}}の値$を一般項の式に代入すれば公差を求めることができます。

偶然にも分かっているのが初項である第1項と第10項の値でしたが、これがたとえば初項ではない第3項と第15項などであってもそれぞれを一般項の式に代入し出てきた2つの式を連立することで公差の値を求めることができます。

一般項の式で$n=10$とすると、

$a_{10} = a_1 + (10 - 1)d$となります。

$a_{10}=22,\; a_{1}=-5$なのでこれを代入すると、$22 = -5 + 9d$よって$d=3$となります。

よって、求める一般項は$a_n=-5+(n-1)\cdot 3$

これを整理して$a_n=\underline{3n-8}$となります。

次に第${n}項$までの$和{S_n}$を求めましょう。

ここで、等差数列の和の公式を確認しておきます。

和の求め方は2つありますがどちらを使うのがいいんですか？

場合によって使い分けるといいよ。

今回の問題であれば、$(1)$で一般項を求めているから$S_n=\frac{n(a+a_n)}{2}$を使えるといいね。

ただ、必ずどちらも使えるようになっておこう。

(1)より、$a_n=3n-8$だったので、第${n}項$までの$和{S_n}$は$S_n = \frac 1 2 n (a_1 + 3n-8)$ $= \underline{\frac{1}{2}n(3n-13)}$となります。

ここで試しに${S_n}で{n=1}$としてみよう。第${1}項$目までの和はもちろん$-5$になるはずだよね。

答えが正しいかどうか簡単に検算できるから、検算できるときは検算する癖をつけておくといいよ。

分かりました！

ここでは等差数列の問題について解説しました。

和を求める公式は2つありますが、問題によって使い分け素早く正確に求められるようになりましょう！