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数列

等比数列

一般項と和

数列の「等比数列」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「一般項と和」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学B 約7分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

等比数列の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

一般項と和の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 一般項と和
  • ポイント: 数列の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

第2項が6,第5項が−48第{2}項が{6},第{5}項が{-48}の等比数列の

(1)一般項anを求めよ(1) \quad 一般項a_nを求めよ。

(2)初項から第n項までの和Snを求めよ(2) \quad 初項から第n項までの和S_nを求めよ。

答えを見る
(1)  an=−3⋅(−2)n−1‾(1)\; a_n = \underline{-3\cdot (-2)^{n-1}}
(2)  Sn=(−2)n−1‾(2)\; S_n = \underline{(-2)^n -1}

解説

等比数列の問題を解説します。

第2項が6,第5項が−48第{2}項が{6},第{5}項が{-48}の等比数列の

(1)一般項anを求めよ(1) \quad 一般項a_nを求めよ。

一般項の求め方を確認しておきましょう。

一般項を求めたいですが、公比が分かりません。

そういうときは、一般項の式から公比を求めよう。

第2項のときの値と第5項のときの値をそれぞれ使えば公比を求めることができるよ。

一般項an=arn−1にa_n=ar^{n-1}において、

n=2とするとa2=a1⋅r2−1よって6=a1⋅r⋯(1){n=2}とすると{a_2=a_1 \cdot r^{2-1} }\quad よって{6 = a_1 \cdot r\cdots (1)}
n=5とするとa5=a1⋅r5−1よって−48=a1⋅r4⋯(2){n=5}とすると{a_5 = a_1 \cdot r^{5-1}} \quad よって{-48 = a_1 \cdot r^4\cdots (2)}

この①と②を連立して解いていきます。

この連立方程式は、式同士で割るとすぐに解けるよ。

②を①で割ると、r3=−8r^3 = -8 これを解いてr=−2r=-2となります。

一般項を求めたいので初項であるa1を{a_1}を求めると①にr=−2を{r=-2}を代入して a1=−3a_1 = -3

よって、一般項はan=a1⋅rn−1=−3⋅(−2)n−1‾a_n=a_1\cdot r^{n-1}=\underline{-3\cdot (-2)^{n-1}}となります。

第2項が6,第5項が−48第{2}項が{6},第{5}項が{-48}の等比数列の

(2)初項から第n項までの和Snを求めよ(2) \quad 初項から第n項までの和S_nを求めよ。

次に初項から第n項第n項までの和Sn和S_nを求めていきましょう。

和を求める公式を確認しておきます。

等比数列の和を求める式が2つありますがどちらを使った方がいいですか？

どちらを使っても大丈夫だけれど、基本的には分母がプラスになる方を使おう。

公比r公比{r}が11より小さいときはSn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}を使い、11より大きいときはSn=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}を使いましょう。

今回は公比が−2-2なのでSn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}を使って解いていきます。

r=−2,a1=−3r=-2,a_1 =-3を代入するとSn=−3(1−(−2)n)1−(−2)S_n = \frac{-3(1-(-2)^n)}{1-(-2)}=−3(1−(−2)n)3=−(1−(−2)n)=(−2)n−1‾{ = \frac{-3(1-(-2)^n)}{3}}=-(1-(-2)^n)=\underline{(-2)^n-1}となります。

n=1n=1としてみると−3-3となり初項と一致するからあっていそうだね。このように検算をする癖をつけておこう！

このページのまとめ

ここでは等比数列の問題について解説しました。

等比数列も等差数列と同様に数列の基礎となる部分です。

必ずマスターしてくださいね！

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