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数列

数列の和の応用

等差×等比型以外の応用

数列の「数列の和の応用」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「等差×等比型以外の応用」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学B 約15分 難易度 3

このページのまとめ

先に押さえておくこと

数列の和の応用の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

等差×等比型以外の応用の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 等差×等比型以外の応用
  • ポイント: 数列の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の和を求めよ。

(1)∑k=1n1k(k+1)(k+2)(1)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}
(2)∑k=1nk(k+1)!(2)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+1)!}

答えを見る
(1)  ∑k=1n1k(k+1)(k+2)=n(n+3)4(n+1)(n+2)‾(1)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\underline{\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}
(2)  ∑k=1nk(k+1)!=1−1(n+1)!‾(2)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+1)!}=\underline{1-\frac{1}{(n+1)!}}

解説

数列の和の応用問題について解説します。ここでは部分分数分解やテレスコーピングを発展させた問題に取り組みます。

1k(k+1)\frac{1}{k(k+1)}の部分分数分解は分かるんですが、分母が33つの積になったらどうすればいいですか？

いい質問だね！実は、33つの積の場合にもテレスコーピングに帰着させるテクニックがあるんだ。

「22つの積の差」に分解するという発想がポイントだよ。

(1)∑k=1n1k(k+1)(k+2)(1)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}

まず、1k(k+1)(k+2)\frac{1}{k(k+1)(k+2)}を22つの積の差に分解しよう。

右辺を計算して確認してみます。

1k(k+1)−1(k+1)(k+2)\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}
=(k+2)−kk(k+1)(k+2)=\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}
=2k(k+1)(k+2)=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}

よって、

1k(k+1)(k+2)=12(1k(k+1)−1(k+1)(k+2))\displaystyle\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)

なるほど！通分すると分子が(k+2)−k=2(k+2)-k=2になるから、逆に12\frac{1}{2}を掛けて元に戻せるんですね。

その通り！ここでf(k)=1k(k+1)f(k)=\frac{1}{k(k+1)}とおくと、各項が12(f(k)−f(k+1))\frac{1}{2}(f(k)-f(k+1))の形になるから、テレスコーピングが使えるね。

和を計算します。

∑k=1n1k(k+1)(k+2)=12∑k=1n(1k(k+1)−1(k+1)(k+2))\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)

各項を書き出すと、

k=1:11⋅2−12⋅3k=1:\quad \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3}
k=2:12⋅3−13⋅4k=2:\quad \frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4}
k=3:13⋅4−14⋅5k=3:\quad \frac{1}{3\cdot 4}-\frac{1}{4\cdot 5}
⋮\qquad\qquad\vdots
k=n:1n(n+1)−1(n+1)(n+2)k=n:\quad \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}

隣り合う項が打ち消し合って、最初と最後だけ残りますね！

打ち消し合いの結果、11⋅2\frac{1}{1\cdot 2}と−1(n+1)(n+2)-\frac{1}{(n+1)(n+2)}だけが残ります。

∑k=1n1k(k+1)(k+2)=12(11⋅2−1(n+1)(n+2))\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)
=12(12−1(n+1)(n+2))=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)
=12⋅(n+1)(n+2)−22(n+1)(n+2)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(n+1)(n+2)-2}{2(n+1)(n+2)}
=n2+3n4(n+1)(n+2)=\frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)}
=n(n+3)4(n+1)(n+2)‾=\underline{\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}

検算してみよう。n=1n=1のとき11⋅2⋅3=16\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{1}{6}だね。

公式に代入すると1⋅44⋅2⋅3=424=16\frac{1\cdot 4}{4\cdot 2\cdot 3}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}で一致するよ。

n=2n=2のとき16+124=524\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{5}{24}、公式では2⋅54⋅3⋅4=1048=524\frac{2\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 4}=\frac{10}{48}=\frac{5}{24}でOKだ。

(2)∑k=1nk(k+1)!(2)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+1)!}

今度は階乗が出てきました。部分分数分解は使えるんですか？

分数の分解という意味では同じ考え方だよ。

分子のkkを(k+1)−1(k+1)-1と変形してみよう。これがポイントだよ！

分子を変形します。

k(k+1)!=(k+1)−1(k+1)!\frac{k}{(k+1)!}=\frac{(k+1)-1}{(k+1)!}
=k+1(k+1)!−1(k+1)!=\frac{k+1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+1)!}
=1k!−1(k+1)!=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}

あ！k+1(k+1)!=1k!\frac{k+1}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}になるんですね。これもテレスコーピングの形だ！

その通り！(k+1)!=(k+1)⋅k!(k+1)!=(k+1)\cdot k!だから、(k+1)(k+1)で約分できるんだね。

和を計算します。各項を書き出すと、

k=1:11!−12!k=1:\quad \frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}
k=2:12!−13!k=2:\quad \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}
k=3:13!−14!k=3:\quad \frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}
⋮\qquad\qquad\vdots
k=n:1n!−1(n+1)!k=n:\quad \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}

テレスコーピングにより、最初の11!=1\frac{1}{1!}=1と最後の−1(n+1)!-\frac{1}{(n+1)!}だけが残ります。

∑k=1nk(k+1)!=1−1(n+1)!‾\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+1)!}=\underline{1-\frac{1}{(n+1)!}}

検算しよう。n=1n=1のとき12!=12\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}、公式では1−12=121-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}でOK。

n=2n=2のとき12+26=56\frac{1}{2}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}、公式では1−16=561-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}でOKだね。

このページのまとめ

ここでは数列の和の応用問題として、33つの積の逆数の和と階乗を含む和について学習しました。

どちらの問題もテレスコーピングに帰着させる変形がポイントです。

「f(k)−f(k+1)f(k)-f(k+1)の形に持ち込む」という意識を持って、分子や分母の構造をよく観察してみてくださいね！

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