シグマの上下の数字はどう読むの？

Σの計算（$\Sigma k$, $\Sigma k^2$, $\Sigma k^3$）では、数列について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

式の中の k を別の文字に変えてもいいの？

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基本公式はどの形を見たら使えるの？

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Σの計算（$\Sigma k$, $\Sigma k^2$, $\Sigma k^3$）の解き方 | 数学Bの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

Σの計算（$\Sigma k$, $\Sigma k^2$, $\Sigma k^3$）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

基本公式と計算の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 基本公式と計算
ポイント: 数列の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の和を求めよ。

(1)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{30} k

(2)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2

(3)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{8} k^3

(4)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{15} (2k^2 - 3k + 1)

答えを見る

(1)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{30} k = \underline{465}

(2)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2 = \underline{385}

(3)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{8} k^3 = \underline{1296}

(4)\;\displaystyle\sum_{k=1}^{15} (2k^2 - 3k + 1) = \underline{2135}

解説

$\Sigma$ （シグマ）記号を使った計算の基本を解説していきます。

$\Sigma$ って何ですか？見慣れない記号で不安です...

$\Sigma$ はギリシャ文字で「シグマ」と読むよ。

「合計」を意味する記号で、たくさんの数を足し合わせることを1つの式で書けるとても便利な道具なんだ。

例えば、 $1$ から $5$ までの整数の和は $1+2+3+4+5$ ですが、これを $\Sigma$ 記号で書くと $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k$ と表せます。

$\Sigma$ の下にある $k=1$ は「 $k$ を $1$ から始める」、上にある $5$ は「 $k$ が $5$ になるまで足す」という意味です。

数列の問題ではこの $\Sigma$ を使った計算が頻繁に出てくるよ。

基本公式を覚えて使えるようになろう！

ここで、 $\Sigma$ の基本公式をまとめます。

公式が4つもありますね...全部覚えなきゃダメですか？

はい、これらは全て覚える必要があるよ。

でもコツがあるんだ。 $\sum c = nc$ は「定数 $c$ を $n$ 回足す」だけだし、 $\sum k$ は等差数列の和の公式と同じだよ。

そして $\sum k^3$ は $\sum k$ の2乗になっている、という面白い関係があるんだ！

それでは問題を解いていきましょう。

(1)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{30} k

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ の公式を使います。 $n=30$ を代入すると、

\displaystyle\sum_{k=1}^{30} k = \frac{30 \times 31}{2}

= \frac{930}{2}

= \underline{465}

これは $1+2+3+\cdots+30$ を一瞬で計算しているんだよ。

この公式は $1$ から $n$ までの整数の和を求める公式として有名だね。

(2)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ の公式を使います。 $n=10$ を代入すると、

\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \times 11 \times 21}{6}

= \frac{2310}{6}

= \underline{385}

$(2n+1)$ の部分が $21$ になるんですね。代入するとき間違えそうです。

そうだね。 $n$ 、 $n+1$ 、 $2n+1$ の3つの部分にそれぞれ代入するのがポイントだよ。

$n=10$ のとき、 $n+1=11$ 、 $2n+1=21$ 。丁寧に代入しよう。

(3)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{8} k^3

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ の公式を使います。 $n=8$ を代入すると、

\displaystyle\sum_{k=1}^{8} k^3 = \left\{\frac{8 \times 9}{2}\right\}^2

= \left\{\frac{72}{2}\right\}^2

= 36^2

= \underline{1296}

この公式は $\left(\sum k\right)^2$ と同じなんだ。つまり $k$ の3乗の和は、 $k$ の和の2乗に等しいということだね。

確認してみよう。 $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} k = 36$ で、 $36^2 = 1296$ 。一致しているね！

(4)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{15} (2k^2 - 3k + 1)

$(4)$ は複雑ですね。どうやって計算すればいいですか？

$\Sigma$ には便利な性質があるよ。 $\Sigma$ の中身が足し算や引き算の形なら、 $\Sigma$ を分けて計算できるんだ。

また、定数は $\Sigma$ の外に出せるよ。

$\Sigma$ の性質を使って分解します。

\displaystyle\sum_{k=1}^{15}(2k^2 - 3k + 1)

= 2\displaystyle\sum_{k=1}^{15}k^2 - 3\sum_{k=1}^{15}k + \sum_{k=1}^{15}1

それぞれの値を公式で求めます。

\displaystyle\sum_{k=1}^{15} k^2 = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = \frac{7440}{6} = 1240

\displaystyle\sum_{k=1}^{15} k = \frac{15 \times 16}{2} = 120

\displaystyle\sum_{k=1}^{15} 1 = 15

これらを代入すると、

= 2 \times 1240 - 3 \times 120 + 15

= 2480 - 360 + 15

= \underline{2135}

なるほど！ $\Sigma$ を分解してから公式に代入するんですね。

その通り！この「分解してから公式を使う」という流れはとても大切だよ。

特に $\sum 1 = n$ （定数の和）を忘れやすいから注意してね。

このページのまとめ

ここでは $\Sigma$ 記号の意味と基本的な公式について学習しました。

$\sum k$ 、 $\sum k^2$ 、 $\sum k^3$ 、 $\sum c$ の4つの公式は数列の問題で頻繁に使います。

公式を使いこなせるよう、色々な問題で練習してくださいね！

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