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数列

漸化式（隣接3項間）

特性方程式の利用

数列の「漸化式（隣接3項間）」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「特性方程式の利用」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学B 約13分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

漸化式（隣接3項間）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

特性方程式の利用の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 特性方程式の利用
  • ポイント: 数列の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の条件を満たす数列{an}\{a_n\}の一般項を求めよ。

(1)a1=1,  a2=5,  an+2−5an+1+6an=0(1)\quad a_1=1,\; a_2=5,\; a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0
(2)a1=1,  a2=9,  an+2−6an+1+9an=0(2)\quad a_1=1,\; a_2=9,\; a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0

答えを見る

(1)  (1)\; an=3n−2n‾a_n=\underline{3^n-2^n}

(2)  (2)\; an=(2n−1)⋅3n−1‾a_n=\underline{(2n-1)\cdot 3^{n-1}}

解説

隣接3項間漸化式の問題について解説します。

3つの項が関係する漸化式って、どうやって解くんですか？

いい質問だね。特性方程式\textcolor{red}{特性方程式}を使って、2項間の漸化式に帰着させるのがポイントだよ。

まずは解法の流れを確認しましょう。

特性方程式って何ですか？

漸化式のan+2,an+1,ana_{n+2}, a_{n+1}, a_nをそれぞれt2,t,1t^2, t, 1に置き換えた2次方程式のことだよ。

この方程式の解を使って、2項間漸化式に分解するんだ。

それでは問題を解いていきましょう。

(1)a1=1,  a2=5,  an+2−5an+1+6an=0(1)\quad a_1=1,\; a_2=5,\; a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0

まず特性方程式を立てよう。

an+2−5an+1+6an=0a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0 の an+2,an+1,ana_{n+2}, a_{n+1}, a_n を t2,t,1t^2, t, 1 に置き換えると、

t2−5t+6=0t^2-5t+6=0

因数分解すると (t−2)(t−3)=0(t-2)(t-3)=0 より t=2,3t=2, 3

特性方程式の2解が α=2,β=3\alpha=2, \beta=3（異なる2解）だね。

これを使って漸化式を2項間の形に変形するよ。

元の漸化式 an+2−5an+1+6an=0a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0 を変形します。

an+2−5an+1+6an=0a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0

ここで −5=−2−3-5=-2-3, 6=2×36=2\times 3 であることに着目すると、

an+2−2an+1−3an+1+6an=0a_{n+2}-2a_{n+1}-3a_{n+1}+6a_n=0
(an+2−2an+1)−3(an+1−2an)=0(a_{n+2}-2a_{n+1})-3(a_{n+1}-2a_n)=0

すなわち、

an+2−2an+1=3(an+1−2an)⋯a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_n) \cdots ①

あ！an+1−2ana_{n+1}-2a_nを一つの数列とみなせば等比数列ですね！

その通り！bn=an+1−2anb_n=a_{n+1}-2a_n とおくと bn+1=3bnb_{n+1}=3b_n だから公比33の等比数列だね。

bn=an+1−2anb_n=a_{n+1}-2a_n とおくと、①より bn+1=3bnb_{n+1}=3b_n です。

b1=a2−2a1=5−2=3b_1=a_2-2a_1=5-2=3 なので、

bn=3⋅3n−1=3nb_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n

同様に、α=3,β=2\alpha=3, \beta=2 として変形すると、

an+2−3an+1=2(an+1−3an)⋯a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_n) \cdots ②

cn=an+1−3anc_n=a_{n+1}-3a_n とおくと、②より cn+1=2cnc_{n+1}=2c_n です。

c1=a2−3a1=5−3=2c_1=a_2-3a_1=5-3=2 なので、

cn=2⋅2n−1=2nc_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n

ここまでで2本の式が得られたね。

an+1−2an=3n⋯a_{n+1}-2a_n=3^n \cdots ①'

an+1−3an=2n⋯a_{n+1}-3a_n=2^n \cdots ②'

この2本からan+1a_{n+1}を消去すればana_nが求まるよ。

①'−-②' より、

(an+1−2an)−(an+1−3an)=3n−2n(a_{n+1}-2a_n)-(a_{n+1}-3a_n)=3^n-2^n
an=3n−2na_n=3^n-2^n

よって an=3n−2n‾a_n=\underline{3^n-2^n}

検算してみよう。a1=3−2=1a_1=3-2=1, a2=9−4=5a_2=9-4=5 で初期条件と一致するね！

(2)a1=1,  a2=9,  an+2−6an+1+9an=0(2)\quad a_1=1,\; a_2=9,\; a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0

今度も特性方程式を立ててみよう。

特性方程式は t2−6t+9=0t^2-6t+9=0 です。

(t−3)2=0(t-3)^2=0 より t=3t=3（重解）

2つの解が同じ値になりました...さっきと同じ方法が使えるんですか？

重解のときは少し工夫が必要だよ。2項間漸化式は1本しか作れないけど、それでも解けるんだ。

α=β=3\alpha=\beta=3 なので、変形は1通りです。

an+2−3an+1=3(an+1−3an)a_{n+2}-3a_{n+1}=3(a_{n+1}-3a_n)

bn=an+1−3anb_n=a_{n+1}-3a_n とおくと bn+1=3bnb_{n+1}=3b_n で等比数列です。

b1=a2−3a1=9−3=6b_1=a_2-3a_1=9-3=6 なので、

bn=6⋅3n−1=2⋅3nb_n=6\cdot 3^{n-1}=2\cdot 3^n

つまり an+1−3an=2⋅3na_{n+1}-3a_n=2\cdot 3^n が得られました。

ここからどうすればいいですか？

両辺を 3n+13^{n+1} で割ってみよう。きれいな形になるよ。

an+1−3an=2⋅3na_{n+1}-3a_n=2\cdot 3^n の両辺を 3n+13^{n+1} で割ると、

an+13n+1−an3n=2⋅3n3n+1=23\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\dfrac{a_n}{3^n}=\dfrac{2\cdot 3^n}{3^{n+1}}=\dfrac{2}{3}

cn=an3nc_n=\dfrac{a_n}{3^n} とおくと、cn+1−cn=23c_{n+1}-c_n=\dfrac{2}{3}（公差23\dfrac{2}{3}の等差数列）

c1=a13=13c_1=\dfrac{a_1}{3}=\dfrac{1}{3} なので、

cn=13+(n−1)⋅23c_n=\dfrac{1}{3}+(n-1)\cdot \dfrac{2}{3}
=1+2n−23=2n−13=\dfrac{1+2n-2}{3}=\dfrac{2n-1}{3}

よって an=3n⋅cn=3n⋅2n−13=(2n−1)⋅3n−1‾a_n=3^n\cdot c_n=3^n\cdot \dfrac{2n-1}{3}=\underline{(2n-1)\cdot 3^{n-1}}

検算しよう。a1=1⋅1=1a_1=1\cdot 1=1, a2=3⋅3=9a_2=3\cdot 3=9 で初期条件と合っているね！

重解のときは等差数列が出てくるんですね！

そうなんだ。異なる2解のときは2本の等比数列からana_nを求め、重解のときは3n3^nで割って等差数列に帰着するのがポイントだよ。

このページのまとめ

ここでは隣接3項間漸化式 an+2+pan+1+qan=0a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0 の解法について学習しました。

特性方程式 t2+pt+q=0t^2+pt+q=0 の解の種類に応じて解法が変わります。

  • 異なる2解 α,β\alpha, \beta のとき：2本の等比数列に帰着し、連立してana_nを求める
  • 重解 α\alpha のとき：3n3^nで割って等差数列に帰着する

どちらの場合も「2項間漸化式に帰着させる」という発想が大切です。ぜひ練習して身につけてくださいね！

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