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数列

漸化式（連立型）

$a_n+b_n$, $a_n-b_n$への帰着

数列の「漸化式（連立型）」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$a_n+b_n$, $a_n-b_n$への帰着」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学B 約10分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

漸化式（連立型）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$a_n+b_n$, $a_n-b_n$への帰着の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: an+bna_n+b_n, an−bna_n-b_nへの帰着
  • ポイント: 数列の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

数列{an}\{a_n\}, {bn}\{b_n\}が次の連立漸化式と初期条件を満たすとき、一般項ana_n, bnb_nを求めよ。

{an+1=2an+bnbn+1=an+2bn(a1=3,  b1=1)\begin{cases} a_{n+1} = 2a_n + b_n \\ b_{n+1} = a_n + 2b_n \end{cases}\quad (a_1 = 3,\; b_1 = 1)

答えを見る
an=2⋅3n−1+1‾a_n = \underline{2 \cdot 3^{n-1} + 1}
bn=2⋅3n−1−1‾b_n = \underline{2 \cdot 3^{n-1} - 1}

解説

連立型の漸化式について解説します。

数列が2つ出てきて、しかもお互いに絡み合っています...どうすればいいですか？

連立漸化式は、2つの式を足したり引いたり\textcolor{red}{足したり引いたり}して、1つの数列だけの漸化式に帰着させるのがポイントだよ。

連立方程式の加減法と同じ発想だね！

{an+1=2an+bnbn+1=an+2bn(a1=3,  b1=1)\begin{cases} a_{n+1} = 2a_n + b_n \\ b_{n+1} = a_n + 2b_n \end{cases}\quad (a_1 = 3,\; b_1 = 1)

まず2つの式を足してみよう！

2つの式の和\textcolor{red}{和}を計算します。

an+1+bn+1a_{n+1} + b_{n+1}
=(2an+bn)+(an+2bn)= (2a_n + b_n) + (a_n + 2b_n)
=3an+3bn= 3a_n + 3b_n
=3(an+bn)= 3(a_n + b_n)

cn=an+bnc_n = a_n + b_n とおくと、cn+1=3cnc_{n+1} = 3c_n となり、これは公比3の等比数列\textcolor{red}{公比3の等比数列}です。

c1=a1+b1=3+1=4c_1 = a_1 + b_1 = 3 + 1 = 4 より、

cn=4⋅3n−1⋯(1)c_n = 4 \cdot 3^{n-1} \quad \cdots (1)

足すだけで等比数列になるんですね！次は引けばいいですか？

その通り！同じように差を計算してみよう。

2つの式の差\textcolor{red}{差}を計算します。

an+1−bn+1a_{n+1} - b_{n+1}
=(2an+bn)−(an+2bn)= (2a_n + b_n) - (a_n + 2b_n)
=an−bn= a_n - b_n

dn=an−bnd_n = a_n - b_n とおくと、dn+1=dnd_{n+1} = d_n となり、これは定数列\textcolor{red}{定数列}です。

d1=a1−b1=3−1=2d_1 = a_1 - b_1 = 3 - 1 = 2 より、

dn=2⋯(2)d_n = 2 \quad \cdots (2)

差が全てのnで一定なんですね！ cnc_n と dnd_n がわかったので、ana_n と bnb_n に戻せますか？

もちろん！ an+bna_n + b_n と an−bna_n - b_n がわかっているから、この連立方程式を解けばいいんだ。

①②より、an+bn=4⋅3n−1a_n + b_n = 4 \cdot 3^{n-1} かつ an−bn=2a_n - b_n = 2 なので、

an=(an+bn)+(an−bn)2a_n = \frac{(a_n + b_n) + (a_n - b_n)}{2}
=4⋅3n−1+22= \frac{4 \cdot 3^{n-1} + 2}{2}
=2⋅3n−1+1‾= \underline{2 \cdot 3^{n-1} + 1}
bn=(an+bn)−(an−bn)2b_n = \frac{(a_n + b_n) - (a_n - b_n)}{2}
=4⋅3n−1−22= \frac{4 \cdot 3^{n-1} - 2}{2}
=2⋅3n−1−1‾= \underline{2 \cdot 3^{n-1} - 1}

最後に検算しよう。n=1n=1 のとき a1=2⋅1+1=3a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3, b1=2⋅1−1=1b_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1 で初期条件と一致するね。

念のため漸化式も確認しておきましょう。n=2n=2 のとき、

a2=2a1+b1=2⋅3+1=7a_2 = 2a_1 + b_1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7
b2=a1+2b1=3+2⋅1=5b_2 = a_1 + 2b_1 = 3 + 2 \cdot 1 = 5

一般項にn=2n=2を代入すると、a2=2⋅3+1=7a_2 = 2 \cdot 3 + 1 = 7, b2=2⋅3−1=5b_2 = 2 \cdot 3 - 1 = 5 で一致します。

このページのまとめ

ここでは連立型の漸化式について学習しました。

2つの数列が絡み合う漸化式は、和と差を考えて独立した漸化式に帰着させます。連立方程式の加減法と同じ考え方です。

最後に検算を忘れずに行いましょう！

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