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数列

漸化式 $a_{n+1} = pa_n + f(n)$

階差型

数列の「漸化式 $a_{n+1} = pa_n + f(n)$」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「階差型」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学B 約15分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

漸化式 $a_{n+1} = pa_n + f(n)$の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

階差型の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 階差型
  • ポイント: 数列の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の漸化式で定義される数列{an}\{a_n\}の一般項を求めよ。

(1)a1=1,  an+1=2an+3(1)\quad a_1=1, \; a_{n+1}=2a_n+3
(2)a1=2,  an+1=3an+2n−1(2)\quad a_1=2, \; a_{n+1}=3a_n+2n-1
(3)a1=1,  an+1=2an+3n(3)\quad a_1=1, \; a_{n+1}=2a_n+3^n

答えを見る

(1)  (1)\; an=4⋅2n−1−3‾a_n = \underline{4 \cdot 2^{n-1} - 3}

(2)  (2)\; an=3n−n‾a_n = \underline{3^n - n}

(3)  (3)\; an=3n−2n‾a_n = \underline{3^n - 2^n}

解説

漸化式 an+1=pan+f(n)a_{n+1} = pa_n + f(n) の形の問題について解説します。

an+1=pan+f(n)a_{n+1} = pa_n + f(n) の形って、等比数列の漸化式に何かが足されていますね。

そうだね。f(n)f(n) の部分が邪魔で直接解けないんだ。

この形の漸化式は f(n)f(n) が何かによって解法が変わるよ。

(1)a1=1,  an+1=2an+3(1)\quad a_1=1, \; a_{n+1}=2a_n+3

これはf(n)=3f(n)=3（定数）の場合だね。

特殊解を見つけて、等比数列の形に変形しよう。

まず、an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3 を an+1−α=2(an−α)a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha) の形に変形することを考えます。

α\alpha はどうやって求めるんですか？

an+1−α=2(an−α)a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha) を展開すると an+1=2an−αa_{n+1} = 2a_n - \alpha となるね。

これと元の式 an+1=2an+3a_{n+1} = 2a_n + 3 を比較すると −α=3-\alpha = 3 だから α=−3\alpha = -3 だよ。

α=31−2=−3\alpha = \frac{3}{1-2} = -3 より、an+1+3=2(an+3)a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3) と変形できます。

bn=an+3b_n = a_n + 3 とおくと、bn+1=2bnb_{n+1} = 2b_n となり、これは等比数列です。

b1=a1+3=1+3=4b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4 より、bn=4⋅2n−1b_n = 4 \cdot 2^{n-1}

よって、an=bn−3=4⋅2n−1−3‾a_n = b_n - 3 = \underline{4 \cdot 2^{n-1} - 3}

(2)a1=2,  an+1=3an+2n−1(2)\quad a_1=2, \; a_{n+1}=3a_n+2n-1

これはf(n)=2n−1f(n) = 2n - 1（一次式）の場合だね。

特殊解として αn+β\alpha n + \beta の形を考えるよ。

漸化式 an+1=3an+2n−1a_{n+1} = 3a_n + 2n - 1 が αn+β\alpha n + \beta を解に持つとすると、

α(n+1)+β=3(αn+β)+2n−1\alpha(n+1) + \beta = 3(\alpha n + \beta) + 2n - 1

これを整理すると、αn+α+β=3αn+3β+2n−1\alpha n + \alpha + \beta = 3\alpha n + 3\beta + 2n - 1

αn+α+β=(3α+2)n+3β−1\alpha n + \alpha + \beta = (3\alpha + 2)n + 3\beta - 1

nn の係数と定数項を比較すると、

  • nnの係数：α=3α+2  ⇒  α=−1\alpha = 3\alpha + 2 \;\Rightarrow\; \alpha = -1
  • 定数項：α+β=3β−1  ⇒  −1+β=3β−1  ⇒  β=0\alpha + \beta = 3\beta - 1 \;\Rightarrow\; -1 + \beta = 3\beta - 1 \;\Rightarrow\; \beta = 0

よって特殊解は −n-n です。

an+1−(−(n+1))=3(an−(−n))a_{n+1} - (-(n+1)) = 3(a_n - (-n)) と変形できるので、

an+1+(n+1)=3(an+n)a_{n+1} + (n+1) = 3(a_n + n)

bn=an+nb_n = a_n + n とおくと、bn+1=3bnb_{n+1} = 3b_n で等比数列です。

b1=a1+1=2+1=3b_1 = a_1 + 1 = 2 + 1 = 3 より、bn=3⋅3n−1=3nb_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n

よって、an=bn−n=3n−n‾a_n = b_n - n = \underline{3^n - n}

(3)a1=1,  an+1=2an+3n(3)\quad a_1=1, \; a_{n+1}=2a_n+3^n

これはf(n)=3nf(n) = 3^n の場合だね。

両辺を 3n+13^{n+1} で割って変形するよ。

漸化式 an+1=2an+3na_{n+1} = 2a_n + 3^n の両辺を 3n+13^{n+1} で割ると、

an+13n+1=2an3n+1+3n3n+1\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2a_n}{3^{n+1}} + \frac{3^n}{3^{n+1}}
an+13n+1=23⋅an3n+13\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}

bn=an3nb_n = \frac{a_n}{3^n} とおくと、bn+1=23bn+13b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n + \frac{1}{3} となります。

あれ、これは(1)(1)と同じ形ですね！

その通り！f(n)f(n)が定数13\frac{1}{3}の形になったね。

特殊解を求めよう。

特殊解 α=1/31−2/3=1/31/3=1\alpha = \frac{1/3}{1 - 2/3} = \frac{1/3}{1/3} = 1 より、

bn+1−1=23(bn−1)b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3}(b_n - 1)

cn=bn−1c_n = b_n - 1 とおくと、cn+1=23cnc_{n+1} = \frac{2}{3}c_n で等比数列です。

c1=b1−1=a131−1=13−1=−23c_1 = b_1 - 1 = \frac{a_1}{3^1} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}

よって、cn=−23⋅(23)n−1=−(23)nc_n = -\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = -\left(\frac{2}{3}\right)^n

bn=cn+1=1−(23)nb_n = c_n + 1 = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n
an=3n⋅bn=3n(1−(23)n)=3n−2n‾a_n = 3^n \cdot b_n = 3^n \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n\right) = \underline{3^n - 2^n}

検算してみよう。a1=31−21=1a_1 = 3^1 - 2^1 = 1 で初期条件と一致しているね。

a2=2⋅1+3=5a_2 = 2 \cdot 1 + 3 = 5 と 32−22=53^2 - 2^2 = 5 も一致するから、答えは正しいよ。

このページのまとめ

ここでは an+1=pan+f(n)a_{n+1} = pa_n + f(n) 型の漸化式について学習しました。

f(n)f(n) が定数のときは特殊解 α\alpha を求めて等比型に変形、一次式のときは αn+β\alpha n + \beta の形の特殊解、rnr^n のときは両辺を rn+1r^{n+1} で割ります。

どの方法も「等比数列の形に変形する」という考え方が共通しています。ぜひマスターしてくださいね！

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