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数列

漸化式（特性方程式）

$a_{n+1}=pa_n+q$ の解法

数列の「漸化式（特性方程式）」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$a_{n+1}=pa_n+q$ の解法」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学B 約10分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

漸化式（特性方程式）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$a_{n+1}=pa_n+q$ の解法の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+q の解法
  • ポイント: 数列の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の漸化式で定義される数列{an}\{a_n\}の一般項を求めよ。

(1)a1=1,  an+1=3an−4(1)\quad a_1=1,\; a_{n+1}=3a_n-4
(2)a1=3,  an+1=an+5(2)\quad a_1=3,\; a_{n+1}=a_n+5

答えを見る

(1)  (1)\; an=2−3n−1‾a_n = \underline{2-3^{n-1}}

(2)  (2)\; an=5n−2‾a_n = \underline{5n-2}

解説

漸化式 an+1=pan+qa_{n+1} = pa_n + q の形の問題について解説します。

an+1=pana_{n+1} = pa_n なら等比数列ですぐ解けるのに、+q+q がついていると解けないです...

いいところに気づいたね。+q+q の部分を上手く消す工夫が必要なんだ。

そのために使うのが特性方程式\textcolor{red}{特性方程式}だよ。

この形の漸化式では、ana_n を別の数列 bnb_n に置き換えて等比数列に帰着\textcolor{red}{等比数列に帰着}させます。

その鍵となるのが特性方程式です。

なぜ α=pα+q\alpha = p\alpha + q を解くと等比数列になるんですか？

いい質問だね。実際に確かめてみよう。

元の漸化式 an+1=pan+qa_{n+1} = pa_n + q の両辺から α\alpha を引くと、

an+1−α=pan+q−αa_{n+1} - \alpha = pa_n + q - \alpha となるよね。

ここで α=pα+q\alpha = p\alpha + q、つまり q=α−pα=α(1−p)q = \alpha - p\alpha = \alpha(1-p) だから、

an+1−α=pan+q−αa_{n+1} - \alpha = pa_n + q - \alpha
=pan+(α−pα)−α= pa_n + (\alpha - p\alpha) - \alpha
=pan−pα= pa_n - p\alpha
=p(an−α)= p(a_n - \alpha)

bn=an−αb_n = a_n - \alpha とおけば bn+1=pbnb_{n+1} = pb_n となり、等比数列\textcolor{red}{等比数列}の形になります。

なるほど！α\alpha を引くことで +q+q の部分が消えるんですね！

その通り！では実際に問題を解いてみよう。

(1)a1=1,  an+1=3an−4(1)\quad a_1=1,\; a_{n+1}=3a_n-4

まず特性方程式を立てて α\alpha を求めます。

α=3α−4\alpha = 3\alpha - 4 を解くと、−2α=−4-2\alpha = -4 より α=2\alpha = 2

よって an+1−2=3(an−2)a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2) と変形できます。

bn=an−2b_n = a_n - 2 とおくと、

  • bn+1=3bnb_{n+1} = 3b_n（公比33の等比数列）
  • b1=a1−2=1−2=−1b_1 = a_1 - 2 = 1 - 2 = -1（初項−1-1）

したがって bn=−1⋅3n−1=−3n−1b_n = -1 \cdot 3^{n-1} = -3^{n-1}

an=bn+2a_n = b_n + 2 に戻すと、an=2−3n−1‾a_n = \underline{2 - 3^{n-1}}

検算してみよう。a1=2−30=2−1=1a_1 = 2 - 3^0 = 2 - 1 = 1 で初期条件と一致するね。

a2=3×1−4=−1a_2 = 3 \times 1 - 4 = -1 と 2−31=−12 - 3^1 = -1 も一致しているよ。

この手順を押さえたら、次は(2)(2)を解いてみよう。

(2)a1=3,  an+1=an+5(2)\quad a_1=3,\; a_{n+1}=a_n+5

これも特性方程式を使うんですか？

実は、この問題は p=1p = 1 の場合なんだ。

特性方程式 α=1⋅α+5\alpha = 1 \cdot \alpha + 5 を立てると 0=50 = 5 となって解が存在しないよ。

p=1p = 1 のとき、漸化式 an+1=an+qa_{n+1} = a_n + q は an+1−an=qa_{n+1} - a_n = q（一定）の形です。

これは公差qqの等差数列\textcolor{red}{等差数列}そのものですね。

したがって、an=a1+(n−1)⋅5=3+5(n−1)=5n−2‾a_n = a_1 + (n-1) \cdot 5 = 3 + 5(n-1) = \underline{5n - 2}

特性方程式が使えるのは p≠1p \neq 1 のときだよ。

p=1p = 1 なら等差数列として解くだけでOKだね。

このページのまとめ

ここでは漸化式 an+1=pan+qa_{n+1} = pa_n + q の特性方程式を用いた解法について学習しました。

特性方程式 α=pα+q\alpha = p\alpha + q を解いて bn=an−αb_n = a_n - \alpha とおけば等比数列に帰着できます。p=1p = 1 の場合は等差数列になるので、場合分けに注意してくださいね！

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