数学的帰納法

問題

数学的帰納法を用いて、次の命題を証明せよ。

$(1)\quad$ すべての自然数$n$について、$1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

$(2)\quad$ $n \geqq 1$のとき、$2^n > n$

解説

数学的帰納法について解説します。

数学的帰納法って難しそうです...どういう考え方なんですか？

実はとてもシンプルな考え方だよ。$\textcolor{red}{ドミノ倒し}$をイメージしてみよう！

ドミノが無限に並んでいるとき、全部倒すにはどうすればいい？

最初の1枚を倒して...あとはどのドミノも次のドミノを倒せればいいですね！

その通り！まさにそれが数学的帰納法の考え方なんだ。

これを数学的にまとめると次のようになるよ。

$[1]$が「1枚目のドミノを倒す」、$[2]$が「$k$番目のドミノが$k+1$番目を倒す」に対応しているんだ。

この2つが揃えば、$n=1, 2, 3, \cdots$と次々に成り立つことが保証されるよ。

それでは、実際に問題を解いてみましょう。

まず証明の書き方のテンプレートを確認しよう。

数学的帰納法の答案は、いつも同じ「型」で書けるんだよ。

この型に当てはめて書けばいいんですね！

そうだよ！では$(1)$を実際にやってみよう。まず$[1]$からだね。

$\textcolor{blue}{[1]}\;n=1$のとき

（左辺）$= 1$

（右辺）$= \dfrac{1 \cdot (1+1)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

（左辺）$=$（右辺）なので、$n=1$のとき成り立ちます。

Step 1は簡単だね。$n=1$を代入して両辺が等しいことを確認するだけだよ。

次がポイントのStep 2だ。

$\textcolor{blue}{[2]}\;n=k$のとき成り立つと仮定します。

すなわち、

このとき、$n=k+1$で成り立つことを示します。

$n=k+1$のとき、左辺はどうなりますか？

左辺は$1+2+\cdots+k+(k+1)$だね。

ここで$1+2+\cdots+k$の部分に仮定$(\ast)$を使うんだよ！

$n=k+1$のとき、左辺を計算すると、

一方、$n=k+1$を右辺に代入すると$\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$となり、一致します。

よって$n=k+1$のときも成り立ちます。

$[1],[2]$より、すべての自然数$n$について$1+2+3+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$が成り立ちます。$\square$

仮定$(\ast)$を使うところがポイントなんですね！

そうだよ！Step 2で仮定を使わない証明は数学的帰納法になっていないから注意してね。

では次に、不等式の証明もやってみよう。

不等式でも同じやり方でいいんですか？

基本は同じだよ。ただし不等式の場合は、等式と違って「一致する」ではなく「大小関係が成り立つ」ことを示す必要があるんだ。

仮定の不等式をうまく利用するのがコツだよ。

$\textcolor{blue}{[1]}\;n=1$のとき

（左辺）$= 2^1 = 2$、（右辺）$= 1$

$2 > 1$より、$n=1$のとき成り立ちます。

$\textcolor{blue}{[2]}\;n=k\;(k \geqq 1)$のとき成り立つと仮定します。

すなわち、$2^k > k\;\cdots(\ast)$

$n=k+1$のとき、$2^{k+1} > k+1$を示します。

$2^{k+1}=2 \cdot 2^k$と変形するのがポイントだよ。

$2^k$の部分に仮定$(\ast)$を使えるからね。

よって$2^{k+1} > k+1$となり、$n=k+1$のときも成り立ちます。

$2 \cdot 2^k > 2k$のところで仮定を使って、$2k \geqq k+1$のところで$k \geqq 1$を使うんですね！

よく理解できているね！不等式の帰納法では、このように仮定と既知の条件を組み合わせて不等式を導くんだ。

$[1],[2]$より、$n \geqq 1$のすべての自然数$n$について$2^n > n$が成り立ちます。$\square$

最後に、よくある間違いを確認しておこう。

ここでは数学的帰納法について学習しました。

証明は$\textcolor{red}{[1]\;n=1の確認}$と$\textcolor{red}{[2]\;n=kの仮定からn=k+1を導く}$の2ステップで構成されます。

テンプレートの型を覚えて、等式でも不等式でも同じ手順で書けるように練習してくださいね！