群数列

問題

自然数を次のように群に分ける。

$(1)\quad$ 第$n$群に含まれる数の個数を求めよ。

$(2)\quad$ 第$n$群の最初の数を求めよ。

$(3)\quad$ 第$n$群の最後の数を求めよ。

$(4)\quad$ $100$は第何群の何番目の数か求めよ。

解説

群数列の問題について解説します。

群数列って何ですか？

数列をいくつかのグループ（群）に分けたものだよ。

規則を見抜いて、各群の性質を調べることがポイントになるんだ。

まず、各群に含まれる数の個数を確認してみましょう。

• 第$1$群：$1$個（$1$のみ）

• 第$2$群：$2$個（$2, 3$）

• 第$3$群：$3$個（$4, 5, 6$）

• 第$4$群：$4$個（$7, 8, 9, 10$）

第$n$群には$n$個の数があるんですね！

その通り！この規則性を見抜くことが大切だよ。

よって、第$n$群に含まれる数の個数は$\underline{n}$個です。

第$n$群の最初の数を求めるには、第$(n-1)$群までに何個の数があるかを考えるんだ。

第$(n-1)$群までの数の総数は、

したがって、第$n$群の最初の数は、

検算してみよう。$n=3$のとき、$\frac{3 \times 2}{2}+1=4$となって、確かに第$3$群の最初は$4$だね。

最後の数はどうやって求めるんですか？

第$n$群までの数の総数を考えればいいよ。それが第$n$群の最後の数になるんだ。

第$n$群までの数の総数は、

よって、第$n$群の最後の数は$\underline{\frac{n(n+1)}{2}}$です。

$n=4$のとき、$\frac{4 \times 5}{2}=10$となって、確かに第$4$群の最後は$10$だね。

$100$がどの群に入るか、どうやって調べるんですか？

第$n$群の最後の数が$100$以上になる最小の$n$を探すんだ。不等式を立ててみよう。

第$n$群の最後の数は$\frac{n(n+1)}{2}$なので、

$\frac{n(n+1)}{2} \geqq 100$を解くと、$n(n+1) \geqq 200$となります。

$n=13$のとき$13 \times 14=182$、$n=14$のとき$14 \times 15=210$だから$n \geqq 14$だね。

つまり、$100$は第$14$群に含まれます。

次に、第$14$群の何番目かを求めます。

第$13$群の最後の数は$\frac{13 \times 14}{2}=91$です。

よって、$100$は第$14$群の$(100-91)=9$番目の数です。

答え：$100$は$\underline{第14群の9番目}$の数です。

なるほど！まず何群かを特定して、その群の何番目かを計算するんですね。

その通り！群数列の問題は、この手順を覚えておけば解けるよ。

ここでは群数列の問題について解説しました。

群数列では、まず各群の項の個数を把握し、第$(n-1)$群までの総和を利用して第$n$群の最初・最後の項を求めることがポイントです。

特定の数が何群の何番目かを求める問題では、不等式を使って群を特定し、その群の最初の数との差を計算しましょう！