等差数列と等比数列

問題

${0<a<b}であるとき{68,\,b,\,a}は$この順で等差数列となり${a,\,12,\,b}は$この順で等比数列となる。 $a,\,b$の値を求めよ。

解説

等差数列と等比数列の問題を解説します。

この問題、どう考えるかな？

うーん。一般項の式を立ててみても求められそうにないです。

このような問題では、以下の条件を考えていくんだ。

この条件は必ずどちらも理解して覚えておこう。頻繁に使うよ。

これらをふまえ、問題を見ていきましょう。

まずは、$68,b,a$が等差数列になるという部分から考えていきましょう。

等差数列となる条件を考えると、$2b = 68+a \cdots (1)$

次に、${a,12,b}が$等比数列になるという部分を考えます。

等比数列となる条件を考えると、$12^2 = ab\cdots (2)$

$(1)より{a=2b-68}と$なり、これを②に代入して整理すると$b^2-34y-72=0$ より${(b+2)(b-36)=0}つ$まり$b=-2,36$となります。

問題文より、$0<b$なので$b=36$となりますね。

①に$b=36$を代入し、$a=4$

よって、$\underline{a=4,\quad b=36}$となります。

不適の解である$b=-2$が出てきたのはなぜですか？

$0<a<b$という制約がなければ問題文で与えられた条件を満たす数列が2種類存在するということだね。

ここでは等差数列と等比数列の問題について解説しました。

等差数列と等比数列になる条件はシンプルですが、問題を解く際には意外と思いつかなかったりします。

いつでも使いこなせるようになってくださいね！