階差数列

問題

$(1)\quad一般項a_nを求めよ$。

$(2)\quad 初項から第n項までの和S_nを求めよ$。

解説

階差数列の問題を解説します。

10増えて100増えて1000増えて$\cdots$

「差」が10倍ずつ増えていってるね。その差の数列のことを「階差数列」というんだ。

注意してほしいのは、問題文で与えられている数列である$1,11,111,1111\cdots \cdots$のことを階差数列というのではなく、差の数列である$10,100,1000,\cdots \cdots$のことを階差数列というんだ。

これらをふまえ、問題を解いていきましょう。

階差数列である$b_n$の一般項から考えていきます。

$b_n$は初項$10$、公比$10$の等比数列なので階差数列の一般項は${b_n} = {10 \cdot 10^{n-1}=10^n}$となりますね。

よって$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b^k = 1 +\sum_{k=1}^{n-1}10^k$となりますね。

$\sum_{k=1}^{n-1}10^k$はどのように計算するんですか？

初項$10$、公比$10$の等比数列の第1項から第$n-1$項までの和と考えられるから等比数列の和の公式を使えばいいね。

$a_n=$$1 +\sum_{k=1}^{n-1}10^k$$= 1 + \frac{10(10^{n-1}-1)}{10-1}=1+\frac{10^n-10}{9}$

これを整理して、$a_n=\underline{\frac{1}{9}(10^n-1)}$となります。

ここで、$n=1$のときも成り立つかどうかを確認しよう。

$n=1$とすると$a_1 = 1$となるから成り立っているね。

一般項を$(1)$で求めたので、初項から第$n$項までの和$S_n$は

$S_n$$= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{9}(10^k-1)$$=\frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n}(10^k-1)$と表せます。

$\sum_{k=1}^{n}10^n$は等比数列の和として考えよう。

$\sum_{k=1}^{n}(-1)$はどう計算すればいいですか？

それはΣの計算だね。以下の公式を使おう。

よって、$S_n = \frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n}(10^k-1)$$=\frac{1}{9}\left \{ \frac{10(10^n-1)}{10-1}-n \right \}$

これを整理して$S_n = \underline{\frac{1}{81}(10^{n+1}-9n-10)}$となります。

$n=1$とすると$S_1 = 1$となるね。初項が$1$だから正しそうだなと分かるよ。

このように検算する癖をつけておこう！

ここでは階差数列の問題について解説しました。

慣れるまで難しく感じるかもしれませんが、確実に解けるようになっておきましょう！