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数列

等差×等比型の和

差分法（ずらし引き）

数列の「等差×等比型の和」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「差分法（ずらし引き）」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学B 約12分 難易度 3

このページのまとめ

先に押さえておくこと

等差×等比型の和の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

差分法（ずらし引き）の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 差分法（ずらし引き）
  • ポイント: 数列の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の和を求めよ。

(1)S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n(1)\quad S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n
(2)∑k=1nk⋅3k(2)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k

答えを見る

(1)  (1)\; (n−1)⋅2n+1+2‾\underline{(n-1) \cdot 2^{n+1} + 2}

(2)  (2)\; (2n−1)⋅3n+1+34‾\underline{\dfrac{(2n-1) \cdot 3^{n+1} + 3}{4}}

解説

等差×等比型の和について解説します。

この問題は、kk（等差数列の項）とrkr^k（等比数列の項）の積の形をした数列の和を求める問題です。

Σ\Sigmaの公式にこんな形はなかったですよね...。どうやって求めるんですか？

いい質問だね！この型にはずらし引き\textcolor{red}{ずらし引き}（差分法）という専用のテクニックがあるよ。

和SSに公比rrをかけてずらしたものを引くと、等比数列の和に帰着できるんだ。

(1)S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n(1)\quad S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n

まずは(1)から一緒にやってみよう。S=∑k=1nk⋅2kS = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k と書けるね。公比は22だよ。

まず、SSを書き下します。

S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n⋯(1)S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n \quad \cdots (1)

次に、SSに公比22をかけた2S2Sを書き下します。

2S=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1⋯(2)2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + n \cdot 2^{n+1} \quad \cdots (2)

ここがポイントだよ。2S2SはSSを1項分ずらした形になっているね。

①から②を引くと、各項の係数が11ずつ減って等比数列の和に帰着できるんだ。

① −- ② を計算します。

S−2S=(1⋅2−1⋅22)+(2⋅22−2⋅23)+⋯S - 2S = (1 \cdot 2 - 1 \cdot 2^2) + (2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2^3) + \cdots

各項で、kk番目のSSの項と(k−1)(k-1)番目の2S2Sの項が対応するので、差を取ると次のようになります。

−S=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1-S = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}

あ！2+22+23+⋯+2n2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n の部分は等比数列の和ですね！

その通り！初項22、公比22、項数nnの等比数列の和だね。

等比数列の和の公式より、

2+22+23+⋯+2n2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n
=2(2n−1)2−1= \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1}
=2n+1−2= 2^{n+1} - 2

これを代入すると、

−S=2n+1−2−n⋅2n+1-S = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1}
=(1−n)⋅2n+1−2= (1 - n) \cdot 2^{n+1} - 2

両辺に−1-1をかけて、

S=(n−1)⋅2n+1+2‾S = \underline{(n-1) \cdot 2^{n+1} + 2}

検算してみよう。n=1n = 1 のとき S=1⋅2=2S = 1 \cdot 2 = 2 だよね。

公式に代入すると (1−1)⋅22+2=0+2=2(1-1) \cdot 2^2 + 2 = 0 + 2 = 2 で一致するね！

(2)∑k=1nk⋅3k(2)\quad \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k

(2)も同じテクニックだよ。今度は公比が33だから、3S3Sを作ってずらし引きしよう。

S=∑k=1nk⋅3kS = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k とおきます。

S=1⋅3+2⋅32+3⋅33+⋯+n⋅3n⋯(1)S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^n \quad \cdots (1)
3S=1⋅32+2⋅33+3⋅34+⋯+n⋅3n+1⋯(2)3S = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^4 + \cdots + n \cdot 3^{n+1} \quad \cdots (2)

① −- ② を計算すると、

S−3S=3+32+33+⋯+3n−n⋅3n+1S - 3S = 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^n - n \cdot 3^{n+1}
−2S=3(3n−1)3−1−n⋅3n+1-2S = \dfrac{3(3^n - 1)}{3 - 1} - n \cdot 3^{n+1}
=3n+1−32−n⋅3n+1= \dfrac{3^{n+1} - 3}{2} - n \cdot 3^{n+1}

通分して整理します。

−2S=3n+1−3−2n⋅3n+12-2S = \dfrac{3^{n+1} - 3 - 2n \cdot 3^{n+1}}{2}
=(1−2n)⋅3n+1−32= \dfrac{(1 - 2n) \cdot 3^{n+1} - 3}{2}

両辺を−2-2で割ると、

S=(2n−1)⋅3n+1+34S = \dfrac{(2n - 1) \cdot 3^{n+1} + 3}{4}

よって、∑k=1nk⋅3k=(2n−1)⋅3n+1+34‾\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k = \underline{\dfrac{(2n-1) \cdot 3^{n+1} + 3}{4}}

こちらも検算しよう。n=1n=1 のとき S=1⋅3=3S = 1 \cdot 3 = 3。

公式に代入すると 1⋅9+34=124=3\frac{1 \cdot 9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3 でOKだね！

なるほど！公比をかけてずらして引くという手順は同じなんですね。

そうだよ！ポイントを整理しておこう。

公比がrrのときはrSrSを作る。S−rSS - rSを計算すると等比数列の和に帰着できる。

最後に検算を忘れずにね！

このページのまとめ

ここでは等差×等比型の和（ずらし引き）について学習しました。

SSに公比をかけたrSrSを作り、S−rSS - rSを計算して等比数列の和に帰着するのがポイントです。

通分や符号のミスに気を付けて、検算も忘れずに行いましょう！

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