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微分法

$(\sin x)' = \cos x$ の証明

導関数の定義から導出

微分法の「$(\sin x)' = \cos x$ の証明」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「導関数の定義から導出」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約9分 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

$(\sin x)' = \cos x$ の証明の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 導関数の定義から導出
  • ポイント: 微分法の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

導関数の定義を用いて、(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x を証明せよ。

答えを見る

導関数の定義より、

(sin⁡x)′=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xh(\sin x)' = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}

加法定理 sin⁡(x+h)=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h を用いると、

=lim⁡h→0sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h−sin⁡xh= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}
=lim⁡h→0sin⁡x(cos⁡h−1)+cos⁡xsin⁡hh= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
=lim⁡h→0(sin⁡x⋅cos⁡h−1h+cos⁡x⋅sin⁡hh)= \displaystyle\lim_{h \to 0} \left( \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right)

ここで、lim⁡h→0sin⁡hh=1\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1、lim⁡h→0cos⁡h−1h=0\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0 より、

=sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x‾= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \underline{\cos x}

解説

三角関数の微分について、導関数の定義から証明していきます。

三角関数の微分って、公式として覚えるだけじゃダメなんですか？

公式を使うだけでも解けるけど、どうやって導かれたのかを理解することが大切だよ。

導関数の定義に戻って考えてみよう！

導関数の定義を用いて、(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x を証明せよ。

まず、導関数の定義に f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x を代入します。

(sin⁡x)′=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xh(\sin x)' = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}

ここで sin⁡(x+h)\sin(x+h) を展開する必要があるね。加法定理を使おう！

加法定理を使って sin⁡(x+h)\sin(x+h) を展開すると、

sin⁡(x+h)=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h

これを代入して整理します。

=lim⁡h→0sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h−sin⁡xh= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}
=lim⁡h→0sin⁡x(cos⁡h−1)+cos⁡xsin⁡hh= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
=lim⁡h→0(sin⁡x⋅cos⁡h−1h+cos⁡x⋅sin⁡hh)= \displaystyle\lim_{h \to 0} \left( \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right)

分数を2つに分けたんですね。でも、この極限はどうやって計算するんですか？

いい質問だね！ここで重要な極限公式を2つ使うよ。

これらの極限公式を適用すると、

(sin⁡x)′=sin⁡x⋅lim⁡h→0cos⁡h−1h+cos⁡x⋅lim⁡h→0sin⁡hh(\sin x)' = \sin x \cdot \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}
=sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1
=cos⁡x‾= \underline{\cos x}

なるほど！加法定理と極限公式を組み合わせるんですね！

その通り！同じ方法で (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x も証明できるよ。

参考までに、グラフで y=sin⁡xy = \sin x とその導関数 y′=cos⁡xy' = \cos x の関係を見てみましょう。

-5 0 5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
y=1sin⁡(1x)y=1\sin(1x)
y=1cos⁡(1x)y=1\cos(1x)

sin⁡x\sin x が増加している区間では cos⁡x>0\cos x > 0、減少している区間では cos⁡x<0\cos x < 0 となっていることが確認できます。

このページのまとめ

ここでは導関数の定義を用いて (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x を証明しました。

加法定理と極限公式を組み合わせることで、三角関数の微分公式が導出できることを理解してくださいね！

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