接線の方程式

問題

原点から$y=x+\log x \;(x>0)\;$に引いた接線の方程式を求めよ。

解説

接線の方程式の問題について解説します。

まずは、数学Ⅱで学習した「接線の方程式」の公式について確認しておきましょう。

接点の座標が分からないときは、接点の${ x}座標$を文字でおけばいいんでしたね。

これをふまえ、問題を解いていきましょう。

はじめに真数条件を確認します。問題文にもある通り、$x>0$ですね。

接線の傾きを求めたいので$y=x+\log x$を微分すると$y'=1+\frac{1}{x}$となります。

接点の$x$座標を$t$とおくと、接点は$(t,t+\log t)$となるので接線の方程式は $y-(t+\log t) = \left (1+\frac{1}{t}\right)(x-t)\; \cdots (1)$ と表せますね。

この接線が原点を通るので、$x=0,y=0$を代入すると$-(t+\log t) = -t\left (1+\frac{1}{t}\right)$ となるので整理して$\log t = 1$

これを解くと$t=e$より①にこの値を代入して整理すると求める接線の方程式は$\underline{y=\left(1+\frac{1}{e}\right)x}$となります。

考え方自体は数学Ⅱで接線の方程式を求めるときと全く同じだね。

ここでは接線の方程式の求め方について解説しました。

微分するときに数学Ⅲの知識が必要なだけで、接線の方程式を求める手順や考え方自体は数学Ⅱで学習した接線の方程式を求める方法と全く同じですね。

接線を求める問題で接点が不明な場合は文字でおくということを忘れないようにしましょう。