導関数の定義

問題

次の関数の導関数を定義に従って求めよ。

解説

微分の問題を解説していきます。

導関数を定義に従って求める問題ですね。まずは、導関数の定義から確認します。

この公式に当てはめて問題を解いていきます。

公式に当てはめると、

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}(\frac{1}{\sqrt{x+h+1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}})$となります。

公式の分母の$h$はくくり出しているよ。

ここからどうすれば良いのか思いつきません。

分母の違う分数が2つあって厄介だね。通分してみようか。

通分すると$\lim_{h \to 0}\frac{1}{h}(\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+h+1}}{\sqrt{x+h+1}\sqrt{x+1}})$となり、

$\frac{1}{h}$を中に入れると$\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x+h+1}}{h\sqrt{x+h+1}\sqrt{x+1}}$となります。

一旦ここで$h \to 0$としてみよう。

$\frac{0}{0}$の不定形だから変形が必要だね。

ここからどうすればいいんですか？

どうにかして不定形を解消しなければいけないね。

ここでは、「分子の有理化」をしてみよう。

分子の有理化を行いましょう。

分母と分子に$(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+h+1})$をかけると、

$\lim_{h \to 0}\frac{(x+1)-(x+h+1)}{h\sqrt{x+h+1}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+h+1})}$$=\lim_{h \to 0}\frac{-h}{h\sqrt{x+h+1}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+h+1})}\phantom{\LARGE 。}$

$h$で約分できますね。

ここで${ h \to 0}$として$\frac{-1}{(x+1)(2\sqrt{x+1})}$

よって、求める導関数は$f'(x)$ $=\underline{-\frac{1}{2(x+1)\sqrt{x+1}}}$となります。

分子の有理化は、重要なテクニックだから

いつでも使えるように練習してね！

ここで導関数の定義に従って微分する問題を解説しました。

微分公式を覚えていると定義を忘れてしまいがちですが、いつ問われても大丈夫なように問題に解き慣れておきましょう！