三角関数の導関数②

問題

次の関数を微分せよ。

$(3)\quad y = \frac{\sin x}{\cos x}$を用いて$(\tan x)'$を導け。

解説

三角関数$\tan x$の微分について解説します。

$\tan x$の導関数は、商の微分公式を使って導くことができます。

2つの表記があるんですか？

そうだよ！三角関数の相互関係$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$から、

どちらの形でも表せるんだ。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$なので、商の微分公式を使います。

商の微分公式：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \sin x, v = \cos x$とすると、

（最後に$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$を使いました）

三角関数の基本公式が出てくるところがポイントだね！

それでは公式を使って問題を解いていきましょう。

公式より、

合成関数の微分を使います。

$f(x) = 3x$とすると、$y = \tan f(x)$なので、

中身の微分を前に掛けて、$\cos$の中も$3x$にするんですね！

完璧だよ！合成関数の微分のポイントをつかんでいるね。

$(2)$で求めた$y = \tan 3x$のグラフを見てみよう。

$\tan x$と比べて周期が$\frac{1}{3}$になっているよ。

漸近線の本数が増えていますね。どこで漸近線になるんですか？

漸近線は$\cos 3x = 0$、つまり$x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \ldots$のところだね。

導関数$\frac{3}{\cos^2 3x}$の分母を見てごらん。$\cos 3x = 0$のとき分母が$0$になるよね。

つまり漸近線の位置では傾きが無限大、グラフが縦に立ち上がっているということなんだ。

なるほど！導関数の分母が$0$になる点と、グラフの漸近線がつながっているんですね！

ここでは$\tan x$の微分について学習しました。

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$という公式は、商の微分公式と三角関数の相互関係から導かれます。

合成関数の微分と組み合わせて、様々な問題を解けるようになりましょう！