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微分法

三角関数の導関数①

$\sin x$, $\cos x$ の微分

微分法の「三角関数の導関数①」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$\sin x$, $\cos x$ の微分」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約8分 難易度 1 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

三角関数の導関数①の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x の微分
  • ポイント: 微分法の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の関数を微分せよ。

(1)y=sin⁡x(1)\quad y = \sin x
(2)y=cos⁡x(2)\quad y = \cos x
(3)y=sin⁡2x(3)\quad y = \sin 2x
(4)y=xsin⁡x(4)\quad y = x \sin x

答えを見る
(1)  y′=cos⁡x‾(1)\; y' = \underline{\cos x}
(2)  y′=−sin⁡x‾(2)\; y' = \underline{-\sin x}
(3)  y′=2cos⁡2x‾(3)\; y' = \underline{2\cos 2x}
(4)  y′=sin⁡x+xcos⁡x‾(4)\; y' = \underline{\sin x + x\cos x}

解説

三角関数の微分について解説します。

sin⁡x\sin xとcos⁡x\cos xの導関数は、数学IIIで新しく学ぶ重要な公式です。

なぜこうなるんですか？

導関数の定義と、lim⁡h→0sin⁡hh=1\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1という重要な極限を使って証明できるんだ。

簡単に説明してみよう。

y=sin⁡xy = \sin xの導関数を求めます。

(sin⁡x)′=lim⁡h→0sin⁡(x+h)−sin⁡xh(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}

加法定理sin⁡(x+h)=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin hを使うと、

=lim⁡h→0sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h−sin⁡xh= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}
=lim⁡h→0sin⁡x(cos⁡h−1)+cos⁡xsin⁡hh= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
=sin⁡xlim⁡h→0cos⁡h−1h+cos⁡xlim⁡h→0sin⁡hh= \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}

ここで、lim⁡h→0sin⁡hh=1\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1、lim⁡h→0cos⁡h−1h=0\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0なので、

=sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x

したがって、(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos xが示されました。

同様に(cos⁡x)′(\cos x)'も導けるよ。結果は−sin⁡x-\sin xになるんだ。

それでは問題を解いていきましょう。

(1)y=sin⁡x(1)\quad y = \sin x

公式より、

y′=cos⁡x‾y' = \underline{\cos x}
(2)y=cos⁡x(2)\quad y = \cos x

公式より、

y′=−sin⁡x‾y' = \underline{-\sin x}

符号に注意してね。cos⁡x\cos xを微分するとマイナスが付くよ！

(3)y=sin⁡2x(3)\quad y = \sin 2x

これは合成関数の微分を使います。

f(x)=2xf(x) = 2xとすると、y=sin⁡f(x)y = \sin f(x)なので、

y′=f′(x)⋅cos⁡f(x)y' = f'(x) \cdot \cos f(x)
=2⋅cos⁡2x= 2 \cdot \cos 2x
=2cos⁡2x‾= \underline{2\cos 2x}

中身を微分したものを前に掛けるんですね！

(4)y=xsin⁡x(4)\quad y = x \sin x

積の微分公式(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'を使います。

u=x,v=sin⁡xu = x, v = \sin xとすると、

y′=(x)′⋅sin⁡x+x⋅(sin⁡x)′y' = (x)' \cdot \sin x + x \cdot (\sin x)'
=1⋅sin⁡x+x⋅cos⁡x= 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x
=sin⁡x+xcos⁡x‾= \underline{\sin x + x\cos x}

sin⁡x\sin xのグラフと導関数cos⁡x\cos xのグラフを見てみよう。

x=0x = 0ではsin⁡x\sin xの傾きが最大（正）で、cos⁡0=1\cos 0 = 1だね。

x=π2x = \frac{\pi}{2}ではsin⁡x\sin xが水平（傾き0）で、cos⁡π2=0\cos \frac{\pi}{2} = 0と一致しているよ！

-5 0 5 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
y=1sin⁡(1x)y=1\sin(1x)
y=1cos⁡(1x)y=1\cos(1x)
このページのまとめ

ここでは三角関数sin⁡x\sin xとcos⁡x\cos xの微分について学習しました。

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x、(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin xという公式は非常に重要です。

合成関数の微分や積の微分と組み合わせて、様々な問題を解けるようになりましょう！

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