$a^x$ の微分で log a が掛かるのはなぜ？

一般の指数関数の導関数では、微分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

底が2のときと10のときで何が変わるの？

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このページのまとめ

一般の指数関数の導関数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$(a^x)' = a^x \log a$ の導出の答えと条件を先に確認できます。

次の関数を微分せよ。

(1)\quad y = 2^x

(2)\quad y = 3^{2x-1}

(1)\; y' = \underline{2^x \log 2}

(2)\; y' = \underline{2 \cdot 3^{2x-1} \log 3}

一般の指数関数 $y = a^x$ の微分について解説します。

$e^x$ の微分は $(e^x)' = e^x$ って習いましたけど、 $2^x$ とか $3^x$ はどうなるんですか？

いい質問だね！一般の指数関数 $a^x$ の微分公式を導いてみよう。

まず、 $y = a^x$ を $e$ を底とする指数関数で表現します。

$a > 0$ のとき、 $a = e^{\log a}$ なので、

y = a^x = (e^{\log a})^x = e^{x\log a}

これで $e$ を底とする形に変換できたね。次に微分しよう。

$(e^{x\log a})$ を微分します。 $\log a$ は定数なので、

y' = e^{x\log a} \cdot (x\log a)' = e^{x\log a} \cdot \log a

ここで、 $e^{x\log a} = a^x$ に戻すと、

y' = a^x \log a

なるほど！ $e^x$ は $\log e = 1$ だから特別なんですね！

それでは、この公式を使って問題を解いていきましょう。

(1)\quad y = 2^x

公式 $(a^x)' = a^x \log a$ に $a = 2$ を代入すると、

y' = 2^x \log 2

よって、 $y' = \underline{2^x \log 2}$ となります。

(2)\quad y = 3^{2x-1}

これは $u = 2x - 1$ とおくと、 $y = 3^u$ の形になります。

指数が $x$ だけでなく $(2x-1)$ になっているから、合成関数の微分法を使う必要があるよ。

合成関数の微分法により、

y' = (3^{2x-1})' = 3^{2x-1} \log 3 \cdot (2x-1)'

= 3^{2x-1} \log 3 \cdot 2

= \underline{2 \cdot 3^{2x-1} \log 3}

指数部分の微分も忘れずに掛けるんですね！

このページのまとめ

ここでは一般の指数関数 $a^x$ の微分公式について学習しました。

$(a^x)' = a^x \log a$ という公式をしっかり覚えて、指数が複雑な場合は合成関数の微分法を使うことを忘れないでくださいね！

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