第2次導関数は何を表しているの？

第2次導関数では、微分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

1回微分したあとにもう1回微分する意味は？

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このページのまとめ

第2次導関数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

導関数をもう一度微分するの答えと条件を先に確認できます。

次の関数の第2次導関数を求めよ。

(1)\quad y = x^4 - 3x^3 + 2x

(2)\quad y = \sin 2x

(1)\; y'' = \underline{12x^2 - 18x}

(2)\; y'' = \underline{-4\sin 2x}

第2次導関数について解説します。

第2次導関数って何ですか？

いい質問だね！導関数をもう一度微分したものなんだ。

記号では $f''(x)$ や $\frac{d^2y}{dx^2}$ と表すよ。

「変化率の変化率」って、どういう意味ですか？

例えば、位置の変化率が速度、速度の変化率が加速度だよね。

つまり、 $y''$ は「増加・減少の勢いの変化」を表すんだ。

グラフでいうと「曲がり具合」を表すんだよ。

(1)\quad y = x^4 - 3x^3 + 2x

まず第1次導関数を求めます。

y' = 4x^3 - 9x^2 + 2

次に、この $y'$ をさらに微分します。

y'' = (y')' = (4x^3 - 9x^2 + 2)'

\quad = 12x^2 - 18x

\quad = \underline{12x^2 - 18x}

多項式の場合は、ただ2回微分すればいいだけだから簡単だね！

(2)\quad y = \sin 2x

まず第1次導関数を求めます。三角関数の微分は合成関数の微分を使います。

y' = (\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2\cos 2x

次に、この $y'$ をさらに微分します。

y'' = (2\cos 2x)'

\quad = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)'

\quad = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2

\quad = \underline{-4\sin 2x}

2回とも合成関数の微分を使うんですね！

その通り！三角関数の中に $2x$ があるから、

微分のたびに係数2がかかるんだ。

だから最終的に $2 \times 2 = 4$ が係数になるよ。

第2次導関数は、グラフの凹凸や変曲点を調べるときに使うよ。

これから詳しく学んでいこう！

このページのまとめ

ここでは第2次導関数について学習しました。

導関数をもう一度微分するだけですが、「変化率の変化率」という

深い意味があることを理解しておきましょう！

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