商の微分で分母が2乗になる理由は？

商の微分法では、微分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

積の微分と商の微分をどう見分ける？

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このページのまとめ

商の微分法の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

商の微分公式の活用の答えと条件を先に確認できます。

次の関数を微分せよ。

(1)\quad y = \frac{x^2}{\sin x}

(2)\quad y = \frac{e^x}{x^2+1}

(1)\; y' = \underline{\frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x}}

(2)\; y' = \underline{\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}}

商の微分法について解説します。

2つの関数の商（分数）を微分するときの公式を見ていきましょう。

積の微分と似てるけど、引き算なんですね！

その通り！積は足し算だったけど、商は引き算になるんだ。

さらに分母の2乗で割ることも忘れずにね。

(1)\quad y = \frac{x^2}{\sin x}

この問題では分子 $f(x) = x^2$ 、分母 $g(x) = \sin x$ とおきます。

それぞれを微分すると

f'(x) = 2x

g'(x) = \cos x

商の微分公式に当てはめると

y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}

\quad = \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{(\sin x)^2}

\quad = \underline{\frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x}}

分子は「前微分・後そのまま - 前そのまま・後微分」、

分母は「元の分母の2乗」だよ！

(2)\quad y = \frac{e^x}{x^2+1}

この問題では分子 $f(x) = e^x$ 、分母 $g(x) = x^2+1$ とおきます。

それぞれを微分すると

f'(x) = e^x

g'(x) = 2x

商の微分公式より

y' = \frac{e^x(x^2+1) - e^x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

\quad = \frac{e^x(x^2+1-2x)}{(x^2+1)^2}

\quad = \underline{\frac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}}

分子で $e^x$ をまとめて、括弧の中を整理したんですね！

よく気づいたね！分子の整理も大切だよ。

この問題では $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ とさらに因数分解もできるね。

符号と分母の2乗を間違えないように気を付けてね！

このページのまとめ

ここでは商の微分公式について学習しました。

「分子微分・分母そのまま - 分子そのまま・分母微分」を「分母の2乗」で割るという

パターンをしっかり身につけて、分数関数を正確に微分できるようになりましょう！

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