高校数学の解法 高校数学の解き方と勉強法を、わかりやすくまとめた学習サイト

微分法

積の微分法

積の微分公式の活用

微分法の「積の微分法」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「積の微分公式の活用」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約5分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

積の微分法の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

積の微分公式の活用の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 積の微分公式の活用
  • ポイント: 微分法の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の関数を微分せよ。

(1)y=x2sin⁡x(1)\quad y = x^2 \sin x
(2)y=excos⁡x(2)\quad y = e^x \cos x

答えを見る
(1)  y′=2xsin⁡x+x2cos⁡x‾(1)\; y' = \underline{2x\sin x + x^2\cos x}
(2)  y′=ex(cos⁡x−sin⁡x)‾(2)\; y' = \underline{e^x(\cos x - \sin x)}

解説

積の微分法について解説します。

2つの関数の積を微分するとき、基本的な公式を使います。

積を微分するときは、普通に両方微分しちゃダメなんですか？

いい質問だね！(fg)′=f′g′(fg)' = f'g'としてしまうのはよくある間違いなんだ。

積の微分では「片方ずつ微分して足す」ことがポイントだよ。

(1)y=x2sin⁡x(1)\quad y = x^2 \sin x

この問題ではf(x)=x2f(x) = x^2、g(x)=sin⁡xg(x) = \sin xとおきます。

それぞれを微分すると

f′(x)=2xf'(x) = 2x
g′(x)=cos⁡xg'(x) = \cos x

積の微分公式に当てはめると

y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
=2x⋅sin⁡x+x2⋅cos⁡x\quad = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x
=2xsin⁡x+x2cos⁡x‾\quad = \underline{2x\sin x + x^2\cos x}

「前微分・後そのまま + 前そのまま・後微分」と覚えておくと便利だよ！

(2)y=excos⁡x(2)\quad y = e^x \cos x

この問題ではf(x)=exf(x) = e^x、g(x)=cos⁡xg(x) = \cos xとおきます。

それぞれを微分すると

f′(x)=exf'(x) = e^x
g′(x)=−sin⁡xg'(x) = -\sin x

積の微分公式より

y′=ex⋅cos⁡x+ex⋅(−sin⁡x)y' = e^x \cdot \cos x + e^x \cdot (-\sin x)
=excos⁡x−exsin⁡x\quad = e^x\cos x - e^x\sin x
=ex(cos⁡x−sin⁡x)‾\quad = \underline{e^x(\cos x - \sin x)}

最後にexe^xでまとめたんですね！

その通り！共通因数があるときは括り出すと綺麗になるね。

このページのまとめ

ここでは積の微分公式について学習しました。

「前微分・後そのまま + 前そのまま・後微分」というパターンをしっかり覚えて、

様々な関数の積を正確に微分できるようになりましょう！

アプリで続ける

この問題の「よくある質問」や「解法の鍵」は、アプリで読めます。

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。 類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。積の微分法 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問 解法の鍵 類題演習 AIに質問
App Store Google Play

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。