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微分法

媒介変数表示の微分

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$

微分法の「媒介変数表示の微分」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約9分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

媒介変数表示の微分の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ:
    dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}
  • ポイント: 微分法の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

曲線が媒介変数 tt を用いて次のように表されるとき、dydx\displaystyle \frac{dy}{dx} を求めよ。

(1)x=t2,  y=t3(1)\quad x = t^2, \; y = t^3

(2)x=a(t−sin⁡t),  y=a(1−cos⁡t)(2)\quad x = a(t - \sin t), \; y = a(1 - \cos t) \quad （サイクロイド）

答えを見る

(1)  (1)\; dydx=3t2‾\displaystyle \underline{\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}}

(2)  (2)\; dydx=sin⁡t1−cos⁡t=cot⁡t2‾\displaystyle \underline{\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot \frac{t}{2}}

解説

媒介変数表示の微分について解説します。

xx と yy が両方とも tt で表されているとき、dydx\frac{dy}{dx} はどう求めるんですか？

いい質問だね。

yy を xx で直接微分できないから、tt を介して微分するんだ。

分数の割り算の形になるんですね！

その通り！「dydy を dtdt で割ったものを、dxdx を dtdt で割ったもので割る」と覚えるといいよ。

(1)x=t2,  y=t3(1)\quad x = t^2, \; y = t^3

まず、xx と yy をそれぞれ tt で微分します。

dxdt=2t\displaystyle \frac{dx}{dt} = 2t
dydt=3t2\displaystyle \frac{dy}{dt} = 3t^2

公式に代入すると、

dydx=dydtdxdt=3t22t=3t2\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}

よって、dydx=3t2‾\displaystyle \underline{\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}} です。

この曲線 x=t2,y=t3x = t^2, y = t^3 は、tt を消去すると y2=x3y^2 = x^3 という形になるよ。

これは「半立方放物線」と呼ばれる曲線なんだ。

(2)x=a(t−sin⁡t),  y=a(1−cos⁡t)(2)\quad x = a(t - \sin t), \; y = a(1 - \cos t)

これは有名な曲線ですか？

そうだよ！これは**サイクロイド**という曲線だね。

円が直線上を転がるときの、円周上の1点が描く軌跡なんだ。

それでは微分してみましょう。

dxdt=a(1−cos⁡t)\displaystyle \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)
dydt=asin⁡t\displaystyle \frac{dy}{dt} = a \sin t

したがって、

dydx=asin⁡ta(1−cos⁡t)=sin⁡t1−cos⁡t\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}

ここで、半角の公式を使うとより簡単な形になります。

sin⁡t=2sin⁡t2cos⁡t2\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}
1−cos⁡t=2sin⁡2t21 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}

よって、

dydx=2sin⁡t2cos⁡t22sin⁡2t2=cos⁡t2sin⁡t2=cot⁡t2\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \sin^2 \frac{t}{2}} = \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} = \cot \frac{t}{2}

答えは dydx=sin⁡t1−cos⁡t=cot⁡t2‾\displaystyle \underline{\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot \frac{t}{2}} です。

媒介変数表示の微分は、物理や工学でもよく使われる重要な技法だよ。

このページのまとめ

ここでは、媒介変数表示の微分について学習しました。

dydx=dy/dtdx/dt\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} という公式は、複雑な曲線の接線を求めるときに威力を発揮します。

サイクロイドなど、美しい曲線の解析にも使えますので、しっかりマスターしましょう！

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