平均値の定理

問題

区間 $[0, 2]$ で定義された関数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ について、平均値の定理を適用し、

を満たす $c$ $(0 < c < 2)$ を求めよ。

解説

平均値の定理について解説します。

これって、どういう意味ですか？

いい質問だね。図形的な意味から考えてみよう。

左辺は2点 $(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を結ぶ直線の傾きだよ。

右辺は点 $(c, f(c))$ における接線の傾きだね。

つまり、「直線の傾きと同じ傾きの接線が必ず存在する」ということですか？

その通り！素晴らしい理解だね。

まず、左辺（平均変化率）を計算します。

次に、導関数を求めます。

平均値の定理より、$f'(c) = 1$ を満たす $c$ を求めます。

$0 < c < 2$ の範囲にあるのは $c = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}$ です。

分母を有理化すると、$c = \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}$

よって、答えは $\underline{c = \frac{2\sqrt{3}}{3}}$ です。

グラフで確認してみると、

点 $(0, 1)$ と $(2, 3)$ を結ぶ直線の傾きは確かに1だね。

そして、$x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ での接線の傾きも1になっているんだ。

平均値の定理って、どんなときに使うんですか？

不等式の証明によく使われるよ。

たとえば、「$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ の形に変形できる」から、

$f'(x)$ の範囲がわかれば $f(b) - f(a)$ の範囲が求められるんだ。

ここでは、平均値の定理について学習しました。

この定理は、関数の平均的な変化と瞬間的な変化を結びつける重要な定理です。

不等式の証明や関数の性質の解析に幅広く活用されますので、しっかり理解しておきましょう！