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微分法

対数微分法

$y = x^x$ の微分

微分法の「対数微分法」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$y = x^x$ の微分」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約7分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

対数微分法の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$y = x^x$ の微分の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: y=xxy = x^x の微分
  • ポイント: 微分法の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の関数を微分せよ。

(1)y=xx(x>0)(1)\quad y = x^x \quad (x > 0)
(2)y=(sin⁡x)x(sin⁡x>0)(2)\quad y = (\sin x)^x \quad (\sin x > 0)

答えを見る

(1)  (1)\; y′=xx(log⁡x+1)‾\underline{y' = x^x(\log x + 1)}

(2)  (2)\; y′=(sin⁡x)x(log⁡sin⁡x+xcot⁡x)‾\underline{y' = (\sin x)^x(\log \sin x + x \cot x)}

解説

対数微分法について解説します。

y=xxy = x^x って、底も指数も xx なんですが、どう微分すればいいですか？

いい質問だね！

指数関数の微分（axa^x）も累乗の微分（xnx^n）も使えないね。

こういうときは**対数微分法**を使うんだ。

(1)y=xx(x>0)(1)\quad y = x^x \quad (x > 0)

それでは、対数微分法で解いてみよう。

1
両辺の対数をとります。
log⁡y=log⁡xx=xlog⁡x\log y = \log x^x = x \log x
2
両辺を xx で微分します。
ddx(log⁡y)=ddx(xlog⁡x)\displaystyle \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(x \log x)

左辺は合成関数の微分より、

ddx(log⁡y)=1y⋅y′=y′y\displaystyle \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{1}{y} \cdot y' = \frac{y'}{y}

右辺は積の微分より、

ddx(xlog⁡x)=1⋅log⁡x+x⋅1x=log⁡x+1\displaystyle \frac{d}{dx}(x \log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1

したがって、

y′y=log⁡x+1\displaystyle \frac{y'}{y} = \log x + 1
3
y′y' について解きます。
y′=y(log⁡x+1)=xx(log⁡x+1)y' = y(\log x + 1) = x^x(\log x + 1)

よって、y′=xx(log⁡x+1)‾\underline{y' = x^x(\log x + 1)} です。

なるほど！y=xxy = x^x を元に戻すんですね。

(2)y=(sin⁡x)x(sin⁡x>0)(2)\quad y = (\sin x)^x \quad (\sin x > 0)

同様に対数微分法を用います。

1
両辺の対数をとります。
log⁡y=xlog⁡sin⁡x\log y = x \log \sin x
2
両辺を xx で微分します。
y′y=1⋅log⁡sin⁡x+x⋅cos⁡xsin⁡x\displaystyle \frac{y'}{y} = 1 \cdot \log \sin x + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}
y′y=log⁡sin⁡x+xcot⁡x\displaystyle \frac{y'}{y} = \log \sin x + x \cot x
3
y′y' について解きます。
y′=y(log⁡sin⁡x+xcot⁡x)y' = y(\log \sin x + x \cot x)
y′=(sin⁡x)x(log⁡sin⁡x+xcot⁡x)y' = (\sin x)^x(\log \sin x + x \cot x)

よって、y′=(sin⁡x)x(log⁡sin⁡x+xcot⁡x)‾\underline{y' = (\sin x)^x(\log \sin x + x \cot x)} です。

対数微分法は、底も指数も変数の関数の微分で威力を発揮するよ。

手順をしっかり覚えておこう！

このページのまとめ

ここでは、対数微分法について学習しました。

y=f(x)g(x)y = f(x)^{g(x)} の形の関数は、両辺の対数をとってから微分します。

複雑に見えますが、手順に従えば確実に解けますので、練習を重ねてくださいね！

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