log x の微分が 1/x になる理由は？

対数関数の導関数では、微分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

log(2x+1) ではどこに chain rule を使うの？

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このページのまとめ

対数関数の導関数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$(\log x)' = \frac{1}{x}$ の証明の答えと条件を先に確認できます。

次の関数を微分せよ。

(1)\quad y = \log x

(2)\quad y = \log(2x+1)

(3)\quad y = x \log x

(1)\; y' = \underline{\frac{1}{x}}

(2)\; y' = \underline{\frac{2}{2x+1}}

(3)\; y' = \underline{\log x + 1}

対数関数の微分について解説します。

自然対数 $\log x$ （底が $e$ の対数）の微分は、覚えておくべき重要な公式です。

なぜこの公式が成り立つんですか？

逆関数の微分を使って証明できるよ。

$y = \log x$ の逆関数は $x = e^y$ だからね。

$y = \log x$ とすると、 $x = e^y$ です。

両辺を $x$ で微分すると、

1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}

これを $\frac{dy}{dx}$ について解くと、

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}

（最後に $e^y = x$ を代入しました）

したがって、 $(\log x)' = \frac{1}{x}$ が示されました。

それでは問題を解いていこう！

(1)\quad y = \log x

これは公式そのままです。

y' = \underline{\frac{1}{x}}

(2)\quad y = \log(2x+1)

合成関数の微分を使うよ。

$f(x) = 2x+1$ とすると、 $y = \log f(x)$ の形なので、

y' = \frac{f'(x)}{f(x)}

= \frac{2}{2x+1}

= \underline{\frac{2}{2x+1}}

真数を微分したものを、真数で割るんですね！

完璧だね！この理解があれば色々な対数関数の微分ができるよ。

(3)\quad y = x \log x

これは積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x, v = \log x$ とすると、

y' = (x)' \cdot \log x + x \cdot (\log x)'

= 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}

= \log x + 1

= \underline{\log x + 1}

$x \cdot \frac{1}{x} = 1$ となることに注意してね。

このページのまとめ

ここでは対数関数 $\log x$ の微分について学習しました。

$(\log x)' = \frac{1}{x}$ という公式は指数関数の微分と並んで非常に重要です。

合成関数の微分 $(\log f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}$ をマスターして、様々な対数関数の微分ができるようになりましょう！

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