陰関数の微分・逆関数の微分

問題

$(1)\quad$ 陰関数 $x^2 + y^2 = 25$ について、$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ を求めよ。

$(2)\quad$ 関数 $y = f(x) = x^3 + x$ の逆関数を $x = g(y)$ とするとき、$y = 10$ における $g'(y)$ の値を求めよ。

解説

陰関数の微分と逆関数の微分について解説します。

$x^2 + y^2 = 25$ のような式で、$y$ が $x$ で表されていないとき、どう微分するんですか？

いい質問だね。

このように $y$ が $x$ の陽関数の形（$y = ...$）で表されていない関数を**陰関数**というんだ。

陰関数の微分では、$y$ を $x$ の関数と見なして両辺を微分するよ。

両辺を $x$ で微分します。

左辺を項ごとに微分すると、

$y^2$ を微分するときは、$y$ が $x$ の関数だから合成関数の微分を使うんだよ。

よって、

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ について解くと、

よって、$\displaystyle \underline{\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}}$ です。

これは円の方程式ですよね。接線の傾きが $-\frac{x}{y}$ になるんですね！

素晴らしい気づきだね。

円の中心 $(0, 0)$ と点 $(x, y)$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{y}{x}$ だから、

接線の傾きはその逆数の符号を変えたものになっているね（垂直だから）。

次は$(2)$の逆関数の微分を解こう。

まず、$y = 10$ のときの $x$ の値を求めよう。

$y = f(x) = x^3 + x = 10$ とすると、

$x = 2$ のとき $f(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$ となるので、$y = 10$ のとき $x = 2$ です。

次に、$f'(x)$ を求めます。

$x = 2$ のとき、

逆関数の微分公式より、

よって、答えは $\displaystyle \underline{g'(10) = \frac{1}{13}}$ です。

逆関数の微分って、元の関数の微分の逆数になるんですね！

その通り！

グラフで考えると、$y = f(x)$ と逆関数のグラフは $y = x$ に関して対称だから、

傾きも逆数の関係になるんだよ。

ここでは、陰関数の微分と逆関数の微分について学習しました。

陰関数では、$y$ を $x$ の関数と見なして両辺を微分します。

逆関数の微分では、$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ という関係を使います。

どちらも、関数の形を変えずに微分できる便利な技法ですので、しっかりマスターしましょう！