$e^x$ が微分しても自分自身になるのはなぜ？

指数関数の導関数では、微分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

$e^{2x}$ の微分で chain rule はどこに入るの？

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このページのまとめ

指数関数の導関数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

次の関数を微分せよ。

(1)\quad y = e^x

(2)\quad y = e^{2x}

(3)\quad y = x e^x

(1)\; y' = \underline{e^x}

(2)\; y' = \underline{2e^{2x}}

(3)\; y' = \underline{e^x + xe^x = (1+x)e^x}

指数関数の微分について解説します。

指数関数 $e^x$ の最も重要な性質は、微分しても自分自身になることです。

なぜ $(e^x)' = e^x$ になるんですか？

いい質問だね！実はこれはネイピア数 $e$ の定義から導かれるんだ。

簡単に説明してみよう。

導関数の定義から、

(e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}

= \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h}

= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}

ここで、 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ という極限の性質があり、これは $e$ の定義から成り立ちます。

したがって、 $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$ となります。

それでは問題を解いていこう！

(1)\quad y = e^x

これは公式そのままですね。

y' = \underline{e^x}

(2)\quad y = e^{2x}

これは合成関数の微分を使うよ。

$f(x) = 2x$ とすると、 $y = e^{f(x)}$ の形なので、

y' = f'(x) \cdot e^{f(x)}

= 2 \cdot e^{2x}

= \underline{2e^{2x}}

指数部分を微分したものを前に掛けるんですね！

その通り！よく気づいたね。

(3)\quad y = x e^x

これは積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x, v = e^x$ とすると、

y' = (x)' \cdot e^x + x \cdot (e^x)'

= 1 \cdot e^x + x \cdot e^x

= e^x + xe^x

= \underline{(1+x)e^x}

最後に $e^x$ でまとめると綺麗な形になるよ。

グラフを見ると、 $e^x$ は常に増加していて、どの点でも接線の傾きが $y$ 座標の値と等しいんだ。

これが $(e^x)' = e^x$ という性質を表しているんだよ。

このページのまとめ

ここでは指数関数 $e^x$ の微分について学習しました。

$(e^x)' = e^x$ という性質は非常に重要で、積分でも同じように現れます。

合成関数の微分と組み合わせて、様々な指数関数の微分ができるようになりましょう！

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