グラフの凹凸と変曲点

問題

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ について、以下を求めよ。

$(1)\quad$ 変曲点の座標

$(2)\quad$ 増減表に凹凸を追加し、グラフの概形を描け

解説

グラフの凹凸と変曲点について解説します。

変曲点を求めるには、まず2階微分 $f''(x)$ を計算するよ。

まず、1階微分を求めます。

次に、2階微分を求めます。

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めればいいんですね！

その通り！ただし、その点で符号が変わることも確認しようね。

$f''(x) = 0$ とすると、$6(x - 1) = 0$ より $x = 1$

$x = 1$ の前後で $f''(x)$ の符号を調べると、

• $x < 1$ のとき $f''(x) < 0$（上に凸）

• $x > 1$ のとき $f''(x) > 0$（下に凸）

よって、$x = 1$ で凹凸が変わるので変曲点です。

$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 0$ より、変曲点の座標は $\underline{(1, 0)}$ です。

増減表には、$f'(x)$ と $f(x)$ に加えて $f''(x)$ の行も追加するよ。

まず、極値を求めます。$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0$ より $x = 0, 2$

$f(0) = 2$, $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$

増減表に凹凸を追加すると次のようになります。

変曲点では、グラフの「曲がり方」が変わるんですね！

その通り！変曲点で上に凸から下に凸（またはその逆）に変わるんだ。

グラフの概形は以下のようになります。

ここでは、2階微分を用いたグラフの凹凸と変曲点について学習しました。

2階微分の符号でグラフの「曲がり具合」がわかります。

増減表に凹凸を追加することで、より正確なグラフが描けるようになりますよ！