合成関数の微分法

問題

次の関数を微分せよ。

解説

合成関数の微分法について、詳しく解説していきます。

$(x^2)^5$ とか $\sin(3x^2)$ みたいな、関数の中に関数が入っている形って、どうやって微分するんですか？

これは「合成関数の微分法」という、数学IIIで最も重要な技法の1つだよ。

別名「チェインルール（連鎖律）」とも呼ばれているんだ。

「外側の関数の微分 × 内側の関数の微分」ってことですか？

その理解で正解！外側から順番に微分していくイメージだね。

具体例で見ていこう。

これは $u = x^2 + 3x - 1$ とおくと、$y = u^5$ の形になります。

外側の関数は「5乗」、内側の関数は「$x^2 + 3x - 1$」だね。

合成関数の微分法を適用すると、

ここで、

• $$\displaystyle\frac{dy}{du} = (u^5)' = 5u^4 = 5(x^2 + 3x - 1)^4$$

• $$\displaystyle\frac{du}{dx} = (x^2 + 3x - 1)' = 2x + 3$$

よって、

答えは $\underline{5(x^2 + 3x - 1)^4 \cdot (2x + 3)}$ となります。

なるほど！外側を微分して、内側を微分して掛けるんですね！

これは $u = 3x^2$ とおくと、$y = \sin u$ の形になります。

外側は「sin」、内側は「$3x^2$」だね。

合成関数の微分法により、

• $$\displaystyle\frac{dy}{du} = (\sin u)' = \cos u = \cos(3x^2)$$

• $$\displaystyle\frac{du}{dx} = (3x^2)' = 6x$$

よって、

これは $u = \cos x$ とおくと、$y = e^u$ の形になります。

外側が「$e$ の何乗」で、内側が「$\cos x$」ですね！

合成関数の微分法により、

• $$\displaystyle\frac{dy}{du} = (e^u)' = e^u = e^{\cos x}$$

• $$\displaystyle\frac{du}{dx} = (\cos x)' = -\sin x$$

よって、

符号に注意してね！$\cos x$ の微分は $-\sin x$ だよ。

合成関数の微分法は、複雑な関数を微分するときの基本技法なんだ。

慣れるまで、次のステップを意識して練習しよう。

何度も練習して、自然に使えるようになりたいです！

その意気だね！合成関数の微分法は、積分や微分方程式でも使う超重要技法だよ。

色々な問題で練習していこう！

ここでは合成関数の微分法（チェインルール）について学習しました。

$\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ という公式を使い、「外側の微分 × 内側の微分」という流れを身につけてくださいね！