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式と証明

整式の除法・分数式

整式の割り算と分数式の計算

式と証明の「整式の除法・分数式」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「整式の割り算と分数式の計算」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約10分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

整式の除法・分数式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

整式の割り算と分数式の計算の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 整式の割り算と分数式の計算
  • ポイント: 式と証明の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

(1)(1)\quad 2x3+3x2−5x+12x^3+3x^2-5x+1 を x2+2x−1x^2+2x-1 で割った商と余りを求めよ。

(2)(2)\quad 次の分数式を簡単にせよ。

x2−4x2+x−2+xx−1\dfrac{x^2-4}{x^2+x-2} + \dfrac{x}{x-1}

答えを見る

(1)  (1)\; 商: 2x−1‾\underline{2x-1}、余り: −x‾\underline{-x}

(2)  (2)\; 2‾\underline{2}

解説

整式の除法（割り算）と分数式の計算について解説します。

まず、整式の割り算の基本的な考え方を確認しましょう。

整式の割り算ってどうやるんですか？

整数の筆算の割り算と同じ考え方だよ。

まずは大事な関係式を確認しておこう。

整数の割り算と同じ形ですね！例えば 17=5×3+217 = 5 \times 3 + 2 みたいな。

その通り！整数のときは「余り << 割る数」だけど、整式のときは「余りの次数 << 割る式の次数」になるんだ。

それでは実際に問題を解いていきましょう。

(1)(1)\quad 2x3+3x2−5x+12x^3+3x^2-5x+1 を x2+2x−1x^2+2x-1 で割った商と余りを求めよ。

割る式 x2+2x−1x^2+2x-1 は2次式なので、余りは1次式以下（ax+bax+b の形か定数）になります。

整数の筆算と同じように、最高次の項に注目して商を立てていくよ。1ステップずつやってみよう！

1
最高次の項 2x32x^3 を x2x^2 で割って、商の項を決める

2x3÷x2=2x2x^3 \div x^2 = 2x なので、商の最初の項は 2x2x です。

割る式に 2x2x を掛けて、割られる式から引きます。

(x2+2x−1)×2x=2x3+4x2−2x(x^2+2x-1) \times 2x = 2x^3+4x^2-2x
(2x3+3x2−5x+1)−(2x3+4x2−2x)(2x^3+3x^2-5x+1) - (2x^3+4x^2-2x)
=−x2−3x+1= -x^2-3x+1
2
残った −x2−3x+1-x^2-3x+1 に対して同じ操作を繰り返す

−x2÷x2=−1-x^2 \div x^2 = -1 なので、商の次の項は −1-1 です。

割る式に −1-1 を掛けて引きます。

(x2+2x−1)×(−1)=−x2−2x+1(x^2+2x-1) \times (-1) = -x^2-2x+1
(−x2−3x+1)−(−x2−2x+1)(-x^2-3x+1) - (-x^2-2x+1)
=(−3+2)x+(1−1)= (-3+2)x + (1-1)
=−x= -x

−x-x は1次式で、割る式 x2+2x−1x^2+2x-1 は2次式です。余りの次数の方が小さいので、ここで割り算は終了です。

よって、商: 2x−1‾\underline{2x-1}、余り: −x‾\underline{-x}

本当に合っているか不安です...

検算してみよう！A=BQ+RA = BQ + R に代入して元の式に戻れば正しいよ。

検算: (x2+2x−1)(2x−1)+(−x)(x^2+2x-1)(2x-1)+(-x) を展開します。

(x2+2x−1)(2x−1)(x^2+2x-1)(2x-1)
=2x3−x2+4x2−2x−2x+1= 2x^3 - x^2 + 4x^2 - 2x - 2x + 1
=2x3+3x2−4x+1= 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1

余りを足すと、2x3+3x2−4x+1+(−x)=2x3+3x2−5x+1  ✓2x^3 + 3x^2 - 4x + 1 + (-x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1\;\checkmark

元の式に戻ったね！割り算の後は必ず検算する習慣をつけよう。

(2)(2)\quad 次の分数式を簡単にせよ。x2−4x2+x−2+xx−1\dfrac{x^2-4}{x^2+x-2} + \dfrac{x}{x-1}

分数式の足し算ってどうやるんですか？

普通の分数の足し算と同じで、通分してから足すんだよ。

まずは分母と分子をそれぞれ因数分解してみよう。

各分数式の分母・分子を因数分解します。

x2−4=(x+2)(x−2)x^2-4 = (x+2)(x-2)
x2+x−2=(x+2)(x−1)x^2+x-2 = (x+2)(x-1)

よって、第1項は

x2−4x2+x−2=(x+2)(x−2)(x+2)(x−1)=x−2x−1\dfrac{x^2-4}{x^2+x-2} = \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-1)} = \dfrac{x-2}{x-1}

共通因数 (x+2)(x+2) で約分できたね。分数式では、まず因数分解して約分するのが鉄則だよ！

約分した結果、式は次のようになります。

x−2x−1+xx−1\dfrac{x-2}{x-1} + \dfrac{x}{x-1}

分母がどちらも (x−1)(x-1) で同じなので、そのまま分子を足すことができます。

x−2x−1+xx−1\dfrac{x-2}{x-1} + \dfrac{x}{x-1}
=(x−2)+xx−1= \dfrac{(x-2)+x}{x-1}
=2x−2x−1= \dfrac{2x-2}{x-1}
=2(x−1)x−1= \dfrac{2(x-1)}{x-1}
=2‾= \underline{2}

最後にさらに約分できるんですね！2x−2=2(x−1)2x-2 = 2(x-1) だから分母と消えて 22 になる！

よく気づいたね！分数式の計算では、最後にもう一度約分できないか必ず確認しよう。

これを忘れると減点されることが多いから注意してね。

このページのまとめ

ここでは整式の除法（割り算）と分数式の計算について学習しました。

整式の割り算は「最高次の項に注目して商を立てる → 掛けて引く」を繰り返す手順をしっかり覚えましょう。割り算の後は A=BQ+RA=BQ+R で検算することも大切です。

分数式の計算では、まず因数分解して約分し、通分してから計算するのが基本です。最後の約分も忘れずに！

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