3次式の展開・因数分解

問題

次の計算をせよ。

$(1)\quad (2x+3)^3$ を展開せよ。

$(2)\quad x^3-27$ を因数分解せよ。

$(3)\quad 8x^3+125$ を因数分解せよ。

解説

3次式の展開・因数分解について解説します。

3乗の展開公式や因数分解の公式が覚えられないんです...

大丈夫！まずは公式を確認して、使い方を練習していこう。

慣れれば自然と覚えられるよ！

まずは3次式に関する展開公式と因数分解公式を確認しましょう。

展開公式の係数は $1, 3, 3, 1$ なんですね。

因数分解公式は展開公式とは別物なんですか？

いいところに気づいたね！

展開公式は$(a+b)^3$のように同じ2項の3乗を展開する公式で、因数分解公式は$a^3+b^3$のように異なる2つの3乗の和・差を分解する公式だよ。

符号の付き方に注意して覚えよう！

それでは問題を解いていきましょう。

これは$(a+b)^3$の展開公式を使う問題です。$a=2x$、$b=3$として公式に当てはめましょう。

$(2x)^2=4x^2$、$(2x)^3=8x^3$ のように、係数もまとめて累乗するのを忘れないでね！

$27=3^3$ なので、$x^3-27=x^3-3^3$ と考えることができます。

これは $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式で $a=x$、$b=3$ の場合です。

$a^3-b^3$ のときは$(a-b)(a^2+ab+b^2)$で、$a^2$の後の符号が$+$になるんですね！

その通り！符号のルールを整理すると、

$a^3+b^3$ → 第1カッコ$(a\textcolor{red}{+}b)$、第2カッコ$(a^2\textcolor{red}{-}ab+b^2)$

$a^3-b^3$ → 第1カッコ$(a\textcolor{red}{-}b)$、第2カッコ$(a^2\textcolor{red}{+}ab+b^2)$

第1カッコの符号と第2カッコの$ab$の前の符号は逆になるよ！

$8x^3=(2x)^3$、$125=5^3$ なので、$8x^3+125=(2x)^3+5^3$ と変形できます。

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ の公式で $a=2x$、$b=5$ として当てはめましょう。

ポイントは、まず各項を「何かの3乗」の形に変形することだよ。

$8x^3=(2x)^3$、$125=5^3$ のように見抜けるかがカギだね！

ここでは3次式の展開公式と因数分解公式について学習しました。

展開公式の係数は $1, 3, 3, 1$（パスカルの三角形の3段目）で、因数分解公式では第1カッコと第2カッコの$ab$の符号が逆になることがポイントです。

数字を見たら3乗の形に直せるかどうかを考える習慣をつけましょう！