3次式の展開・因数分解の応用

問題

$(1)\quad$ $a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解せよ。

$(2)\quad$ $a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つことを示せ。

$(3)\quad$ $x=\sqrt[3]{2}+1$ のとき、$x^3-3x^2+3x-3$ の値を求めよ。

解説

3次式の因数分解の応用問題について解説します。

$a^3+b^3+c^3-3abc$ の因数分解って、どうやるんですか？

これは有名な因数分解公式だよ。まずは公式を確認して、その後で導き方も見ていこう！

この公式は覚えておくと便利ですが、導き方を理解しておくことが大切です。

それでは小問ごとに解説していきます。

この式を因数分解する方法を説明するね。

まず、$a^3+b^3$ の部分に注目してみよう。

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ ですよね！

その通り！これを使って変形していこう。

まず $a^3+b^3$ の部分を因数分解します。

ここで、$c^3$ を分解し、$-3abc$ と合わせて整理していきます。

実は、$a+b = -(c-(a+b+c))$ と考えるよりも、$a+b+c$ を1つの因数として取り出す方が見通しがよいです。

別のアプローチとして、$c = -(a+b) + (a+b+c)$ と考え、$a+b+c$ をまとめて因数に持つことを目指しましょう。

ここでは、$a+b = s$ とおく方法を使うよ。$c$ について整理するんだ。

式全体を $c$ について降べきの順に整理すると、

ここで $a+b = -(c - (a+b+c))$ なので、$c = -(a+b) + (a+b+c)$ となりますが、これでは複雑になります。

もっとスマートな方法として、$a+b+c$ が因数であることを利用しましょう。$a+b+c=0$（つまり $c=-(a+b)$）を代入して式が $0$ になれば、$a+b+c$ は因数です。

因数定理のような考え方ですね！

いい気づきだね！$c = -(a+b)$ を代入して確かめてみよう。

$c = -(a+b)$ を代入すると、

確かに $0$ になるので、$a+b+c$ は因数です。

あとは $c$ についての3次式を $c+(a+b)$（つまり $a+b+c$）で割り算すれば、もう一方の因数が求められます。

$c^3-3abc+(a^3+b^3)$ を $c+(a+b)$ で割ると、

よって、

この公式はとても重要なので、ぜひ覚えておいてね。右側の因数は対称式になっているよ。

$(1)$の結果を使えばいいんですね！

その通り！$(1)$で得られた因数分解をそのまま活用しよう。

$(1)$の結果より、

$a+b+c=0$ を代入すると、

したがって、$a^3+b^3+c^3 = 3abc$ が成り立つ。$\square$

因数に $a+b+c$ があるから、$a+b+c=0$ を代入するだけで示せるね。

「$a+b+c=0$ のとき $a^3+b^3+c^3=3abc$」は超頻出なので覚えておこう！

$\sqrt[3]{2}$ をそのまま代入するのは大変そうです...

そうだね。こういうときは式を工夫して変形するんだ。

$x=\sqrt[3]{2}+1$ ということは、$x-1=\sqrt[3]{2}$ だよね？

あ！ 両辺を3乗すれば $\sqrt[3]{2}$ が消えますね！

$x-1=\sqrt[3]{2}$ の両辺を3乗すると、

左辺を展開すると、

よって、

したがって、

$(x-1)^3=2$ という関係式を見つけるのがポイントだったね。

求めたい式 $x^3-3x^2+3x-3$ は $(x-1)^3-2$ と変形できるから、答えは $0$ になるんだ。

なるほど！ 式の形を見て、$(x-1)^3$ に気づくのが大事なんですね。

ここでは3次式の因数分解の応用について学習しました。

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ は非常に重要な公式です。

特に「$a+b+c=0$ のとき $a^3+b^3+c^3=3abc$」は頻出なのでぜひ覚えてくださいね！