恒等式の証明

問題

$(1)\quad$ $ax^2+bx+c=2x^2-3x+5$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

$(2)\quad$ $\dfrac{x+7}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{a}{x+1} + \dfrac{b}{x+2}$ を満たす定数 $a, b$ の値を求めよ。

解説

恒等式の問題について解説します。

恒等式ってどういう意味ですか？

いい質問だね。恒等式とは、変数にどんな値を代入しても常に成り立つ等式のことだよ。

例えば $(x+1)^2 = x^2+2x+1$ は $x$ にどんな値を入れても成り立つよね。これが恒等式だよ。

恒等式で未知の定数を求める方法は主に2つあるよ。

• 係数比較法：両辺を整理して、同じ次数の係数を比較する方法

• 数値代入法：特定の $x$ の値を代入して、連立方程式を解く方法

それでは実際に問題を解いていきましょう！

この問題は係数比較法で解いてみよう！

恒等式ではすべての $x$ に対して等式が成り立つので、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しくなります。

左辺と右辺をそれぞれ比較すると、

よって、$\underline{a=2,\; b=-3,\; c=5}$ となります。

係数を見比べるだけでいいんですね！わかりやすいです。

そうだね！この問題はシンプルだけど、係数比較法の基本的な考え方を押さえておこう。

次の問題はもう少し応用的だよ。

分数式が出てきました...どう解けばいいですか？

これは部分分数分解の問題だね。

まず両辺に $(x+1)(x+2)$ をかけて分母を払おう！

両辺に $(x+1)(x+2)$ をかけると、

この等式はすべての $x$ で成り立つ（恒等式）ので、数値代入法を使います。

数値代入法では、計算が楽になるような $x$ の値を選ぶのがコツだよ。

今回は $a$ や $b$ の片方が消えるように代入してみよう！

まず $x=-1$ を代入すると $b(x+1)$ の部分が $0$ になります。

$x=-1$：$-1+7 = a(-1+2) + b(-1+1)$

次に $x=-2$ を代入すると $a(x+2)$ の部分が $0$ になります。

$x=-2$：$-2+7 = a(-2+2) + b(-2+1)$

よって、$\underline{a=6,\; b=-5}$ となります。

なるほど！カッコの中が $0$ になる値を選ぶんですね！

その通り！検算もしてみよう。

$$\dfrac{6}{x+1} + \dfrac{-5}{x+2} = \dfrac{6(x+2)-5(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{x+7}{(x+1)(x+2)}$$

ちゃんと元の式に一致するね！

ここでは恒等式の定数決定について学習しました。

係数比較法は両辺の同じ次数の係数を比較する方法、数値代入法は特定の値を代入して求める方法です。

特に部分分数分解では数値代入法が便利なので、ぜひ使いこなしてくださいね！