多項定理②

問題

$(1+x+x^2)^5$を展開したときの$x^6$の係数を求めよ。

解説

多項定理の問題を解説します。

多項定理の考え方が分からない人は同じ単元にある[多項定理①]の解説を見てね。

$(1+x+x^2)^5$から$x^6$が出てくるのはどんなときかを考えます。

あれ、$x^6$が出てくる選び方が何個かあります。

そうだね。この問題のように、求めたい項の変数がカッコの中に$2$項以上に分かれて存在するときは、選び方が複数ある可能性があるんだ。

なるほど。そういうときはどうしたらいいですか？

まずはその選び方を全て列挙しよう。

手探りで選び方を探してもいいし、立式して求めてもいいね。

ここでは手探りで選び方を探して解いてみます。

立式して求めるやり方は最後に紹介します。

それでは、$x^6$が出てくる選び方を手探りで考えます。

$(1+x+x^2)$の中で$x$がある項は$x$と$x^2$なのでこの項を選ぶ数を調整すれば$x^6$を作り出せそうですね。

$x^2$を何回選ぶかで考えると、以下の$3$パターンあることが分かります。

1. $x^2$を$3$回選んで、$x$は選ばないとき
2. $x^2$を$2$回選んで、$x$を$2$回選ぶとき
3. $x^2$を$1$回選んで、$x$を$4$回選ぶとき

このそれぞれのパターンでそれぞれ係数がいくつになるかを求め、最後にそれを足し合わせれば良いですね。具体的にみていきます。

$x^2$を$3$回選んで、$x$は選ばないため、$1$を$2$回選べばいいのでその選び方は$\frac{5!}{3!2!}=10$通り。

$(x^2)^3\cdot 1^2=x^6$となり、係数は$1$ですね。係数$1$の項が$10$通りあるので係数の合計は$10$となります。

$x^2$を$2$回選んで、$x$を$2$回選ぶので、$1$を$1$回選ぶことになります。

その選び方は$\frac{5!}{2!2!}=30$通り。

$(x^2)^2\cdot x^2\cdot 1=x^6$となり、係数は$1$ですね。

係数$1$の項が$30$通りあるので係数の合計は$30$となります。

$x^2$を$1$回選んで$x$を$4$回選ぶので、$1$は選ばないことになります。

その選び方は$\frac{5!}{1!4!}=5$通り。

$x^2 \cdot x^4 = x^6$となり、係数は$1$ですね。

係数$1$の項が$5$通りあるので係数の合計は$5$となります。

以上より、求める係数は$10+30+5=\underline{45}$となります。

この解き方では、$x^6$が出てくる選び方を手探りで探しましたが、立式して探す方法も紹介します。

難しく見えるかもしれませんが、やっていることは全く同じです。

どちらのやり方でやるのがいいんですか？

立式したら確実に漏れなく選び方を見つけられるけど、その分時間がかかってしまうよ。

問題の複雑さにもよるけれど、慣れてきたら手探りでやってみるのもおすすめだよ。

ここでは多項定理の問題について解説しました。

求めたい項の変数が2項以上カッコの中にあるときは、このように全てのパターンを求めて解くことを覚えておきましょう！