多項定理①

問題

$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ。

解説

多項定理の問題を解説します。

多項定理とはなんですか？

二項定理は$(a+b)^n$のようなカッコの中身が二項のものにしか適用できなかったんだ。

それを三項に拡張したものが「多項定理」だよ。

なんだか難しそうです。公式は覚えないとダメですか？

二項定理とやっていること自体は全く同じで、考え方を理解すれば覚える必要はないよ！

「多項定理」という名前にはなっていますが二項定理と考え方は全く同じです。問題を解きながら理解していきましょう！

それでは問題をみていきます。

二項定理を学んだときと同じように考えていこう。

$(2x-y+z)^8$を展開するとき$x^2y^3z^3$の項が出てくるのはどんなときかな？

$2x$が$2$回、$-y$が$3$回、$z$が$3$回選ばれたときです。

その通り。

では次に、それが選ばれる組合せは何通りあるかな？

「同じものを含む順列」として考えればいいですね。

$2x$が$2$個、$-y$が$3$個、$z$が$3$個あるとしてその並べ方は$\frac{8!}{2!3!3!}=560$通りだと思います。

完璧だね！

$x^2y^3z^3$の項が出る選び方は$560$通りあることが分かりましたが、$2x$を$2$回、$-y$を$3$回、$z$を$3$回選んだときは、そこから係数が出てくるのでその係数を計算しましょう。

$(2x)^2(-y)^3z^3=-4x^2y^3z^3$となり、係数は$-4$と分かりますね。

係数が$-4$の項が$560$通りあるので、求める係数は$-4\times 560 =\underline{-2240}$となります。

二項定理と考え方は同じだったよね。公式を覚えずに解けたかな？

はい、よく分かりました！

ここでは多項定理の問題について解説しました。

「多項定理」というタイトルになってはいますが二項定理と同じで簡単ですね。

繰り返し解いてマスターしていきましょう！