コーシー・シュワルツの不等式

問題

$(1)\quad$ 実数 $a,\;b,\;c,\;d$ に対して、$(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geqq (ac+bd)^2$ が成り立つことを証明せよ。また、等号成立条件を求めよ。

$(2)\quad$ $x^2+y^2=1$ のとき、$3x+4y$ の最大値と最小値を求めよ。

解説

コーシー・シュワルツの不等式について解説します。

コーシー・シュワルツの不等式って何ですか？名前が難しそうで怖いです...

名前は難しそうだけど、証明は意外とシンプルだよ！

しかも使い方を知っていると、最大・最小の問題がすごく楽に解けるようになるんだ。

まずは公式を確認しましょう。

この不等式はどうやって証明するんですか？

不等式の証明の基本は「$(左辺)-(右辺) \geqq 0$ を示す」ことだったよね。

展開して整理すると、きれいに2乗の形が出てくるんだ！

それでは問題を解いていきましょう。

「$(左辺)-(右辺) \geqq 0$」を示す方法でやっていこう。まず左辺と右辺をそれぞれ展開してみよう。

左辺を展開します。

右辺を展開します。

$(左辺)-(右辺)$ を計算します。

おお！$a^2d^2-2abcd+b^2c^2$ は $(ad-bc)^2$ に因数分解できるんですね！

その通り！ $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$ の形だね。

2乗は必ず $0$ 以上だから、これで証明完了だよ。

$(ad-bc)^2 \geqq 0$ は常に成り立つので、

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geqq (ac+bd)^2$ が証明できました。

等号が成立するのは $(ad-bc)^2=0$、つまり $ad=bc$ のときです。

$c \neq 0,\;d \neq 0$ の場合は $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ と表すこともできます。

証明自体は「展開して差を取ると2乗の形になる」というシンプルなものだったね。

次はこの不等式を使って最大値・最小値を求める問題に挑戦してみよう！

条件が $x^2+y^2=1$ で、求めたいものが $3x+4y$ ですか...

どうやってコーシー・シュワルツの不等式を使うんですか？

コーシー・シュワルツの不等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geqq (ac+bd)^2$ の形をよく見てみよう。

$a=x,\;b=y,\;c=3,\;d=4$ と対応させるとどうなるかな？

あ！$(x^2+y^2)(3^2+4^2) \geqq (3x+4y)^2$ になりますね！

完璧！$x^2+y^2=1$ を代入すれば $(3x+4y)^2$ の上限が求まるよ。

コーシー・シュワルツの不等式に $a=x,\;b=y,\;c=3,\;d=4$ を代入すると、

ここで $x^2+y^2=1$ を代入します。

$(3x+4y)^2 \leqq 25$ より、$-5 \leqq 3x+4y \leqq 5$ が得られます。

等号成立条件を確認しましょう。$ad=bc$ より $4x=3y$、つまり $y=\dfrac{4}{3}x$ です。

$x^2+y^2=1$ に代入すると、$x^2+\dfrac{16}{9}x^2=1$ より $x^2=\dfrac{9}{25}$ です。

$x=\dfrac{3}{5},\;y=\dfrac{4}{5}$ のとき $3x+4y=5$（最大値）

$x=-\dfrac{3}{5},\;y=-\dfrac{4}{5}$ のとき $3x+4y=-5$（最小値）

よって、最大値は $\underline{5}$、最小値は $\underline{-5}$ です。

すごい！条件に「$x^2+y^2=\cdots$」があって、求めるものが「$ax+by$」の形なら使えるんですね！

その通り！コーシー・シュワルツの不等式は「2乗の和」と「1次式」が関わる問題で威力を発揮するんだ。

等号成立の確認も忘れないようにしよう！

ここではコーシー・シュワルツの不等式について学習しました。

証明は「差を取って2乗の形を作る」というシンプルな方法で、不等式の証明の典型的なパターンです。

「$x^2+y^2=k$ のもとで $ax+by$ の最大・最小を求めよ」という問題で非常に有効なので、ぜひマスターしてくださいね！