等式・不等式の証明

問題

$(1)\quad$ $a+b+c=0$ のとき、$a^2-b^2-c^2=2bc$ が成り立つことを証明せよ。

$(2)\quad$ $a>0,\;b>0$ のとき、$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geqq 2$ が成り立つことを証明せよ。

解説

等式・不等式の証明について解説します。

「証明せよ」と言われると、何をどう書けばいいのかわからないんですが...

証明には決まった方法があるから、パターンを覚えてしまえば大丈夫だよ。

等式と不等式で方法が違うから、順番に説明していくね。

まずは等式と不等式、それぞれの証明の方針を確認しましょう。

等式も不等式も「差を取る」方法が共通していますね！

よく気づいたね！差を取る方法は万能で、困ったときはまずこれを試すのがおすすめだよ。

それでは問題を解いていきましょう。

等式の証明なので、「$(左辺)-(右辺)=0$」を示す方法でやってみよう。

$(左辺)-(右辺)$ を計算します。

あ！$b^2+2bc+c^2$ は $(b+c)^2$ に因数分解できるんですね。

その通り！そして条件 $a+b+c=0$ を使おう。

$a+b+c=0$ ということは $a=-(b+c)$ だよね。

$a=-(b+c)$ を代入すると、

$(左辺)-(右辺)=0$ が示せたので、$a^2-b^2-c^2=2bc$ が成り立つことが証明できました。

ポイントは「条件式をどう使うか」だよ。

条件 $a+b+c=0$ から $a=-(b+c)$ と変形して代入するテクニックはよく使うので覚えておこう！

今度は不等式の証明だね。「$(左辺)-(右辺) \geqq 0$」を示す方法でやってみよう。

$(左辺)-(右辺)$ を計算します。

通分してから分子を因数分解するんですね！

そうだよ。分子が $(a-b)^2$ の形になったのがポイントだね。

2乗は必ず $0$ 以上だから、不等式の証明でとても役に立つんだ。

ここで、$a>0,\;b>0$ より $ab>0$ です。

また、$(a-b)^2 \geqq 0$ は常に成り立ちます。

よって $\frac{(a-b)^2}{ab} \geqq 0$ となり、

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geqq 2$ が証明できました。

等号成立は $(a-b)^2=0$、つまり $a=b$ のときです。

不等式の証明では「$A^2 \geqq 0$」の性質がとても重要だよ。

差を取った後に2乗の形を作れないか考えてみよう！

なるほど！この問題は相加相乗平均の不等式そのものですね。

いいところに気づいたね！$\frac{a}{b}$ と $\frac{b}{a}$ を掛けると $1$（定数）になるよね。

つまり相加相乗平均の関係 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geqq 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}} = 2$ としても証明できるんだ。

実はこの$(2)$の不等式は、相加平均と相乗平均の関係そのものと本質的に同じです。不等式の証明では「差を取る方法」と「相加相乗平均を利用する方法」の両方が使えるかどうかを考えてみましょう。

ここでは等式・不等式の証明について学習しました。

等式は「$(左辺)-(右辺)=0$」、不等式は「$(左辺)-(右辺) \geqq 0$」を示すのが基本です。

特に不等式では「$A^2 \geqq 0$」の性質や「相加相乗平均の関係」が強力な武器になります。

証明問題は書き方に慣れることが大切なので、たくさん練習してくださいね！