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式と証明

パスカルの三角形

二項係数の性質

式と証明の「パスカルの三角形」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「二項係数の性質」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約13分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

パスカルの三角形の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

二項係数の性質の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 二項係数の性質
  • ポイント: 式と証明の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

(1)(1)\quad パスカルの三角形を利用して(a+b)5(a+b)^5を展開せよ。

(2)(2)\quad 等式 nCr+nCr+1=n+1Cr+1{}_n \mathrm{C}_r + {}_n \mathrm{C}_{r+1} = {}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1} を用いて、8C3+8C4{}_8 \mathrm{C}_3 + {}_8 \mathrm{C}_4 の値を求めよ。

答えを見る

(1)  (1)\; a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5‾\underline{a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5}

(2)  (2)\; 126‾\underline{126}

解説

パスカルの三角形の問題について解説します。

パスカルの三角形って聞いたことはあるんですが、二項定理とどう関係しているんですか？

いい質問だね！パスカルの三角形は、(a+b)n(a+b)^nを展開したときの各項の係数を三角形の形に並べたものだよ。

まずはパスカルの三角形を見てみよう！

上の段の隣り合う22つの数を足すと、下の段の数になるんですね！

その通り！そしてこの性質は、二項係数の重要な等式として表せるんだ。

この等式がなぜ成り立つのか、簡単に確認してみましょう。

nCr+nCr+1{}_n \mathrm{C}_r + {}_n \mathrm{C}_{r+1}
=n!r!(n−r)!+n!(r+1)!(n−r−1)!= \frac{n!}{r!(n-r)!} + \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}
=n!(r+1)(r+1)!(n−r)!+n!(n−r)(r+1)!(n−r)!= \frac{n!(r+1)}{(r+1)!(n-r)!} + \frac{n!(n-r)}{(r+1)!(n-r)!}
=n!(r+1+n−r)(r+1)!(n−r)!= \frac{n!(r+1+n-r)}{(r+1)!(n-r)!}
=n!(n+1)(r+1)!(n−r)!= \frac{n!(n+1)}{(r+1)!(n-r)!}
=(n+1)!(r+1)!((n+1)−(r+1))!= \frac{(n+1)!}{(r+1)!((n+1)-(r+1))!}
=n+1Cr+1= {}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1}

通分して計算すれば確かめられるね。

ポイントは分子の (r+1)+(n−r)=n+1(r+1)+(n-r)=n+1 だよ。

それでは問題を解いていきましょう！

(1)(1)\quad パスカルの三角形を利用して(a+b)5(a+b)^5を展開せよ。

パスカルの三角形のn=5n=5の行を見てみよう。

パスカルの三角形のn=5n=5の行は

1,  5,  10,  10,  5,  11, \; 5, \; 10, \; 10, \; 5, \; 1

これは5C0,  5C1,  5C2,  5C3,  5C4,  5C5{}_5 \mathrm{C}_0, \; {}_5 \mathrm{C}_1, \; {}_5 \mathrm{C}_2, \; {}_5 \mathrm{C}_3, \; {}_5 \mathrm{C}_4, \; {}_5 \mathrm{C}_5の値に対応しています。

この数をそのまま展開式の係数として使えばいいんですね！

その通りです。aaの指数は55から00まで減少し、bbの指数は00から55まで増加します。

(a+b)5(a+b)^5
=1⋅a5+5⋅a4b+10⋅a3b2+10⋅a2b3+5⋅ab4+1⋅b5= 1 \cdot a^5 + 5 \cdot a^4b + 10 \cdot a^3b^2 + 10 \cdot a^2b^3 + 5 \cdot ab^4 + 1 \cdot b^5
=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5‾= \underline{a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5}

パスカルの三角形を覚えておけば、低い次数の展開はすぐにできるよ！

係数が左右対称になっているのもポイントだね。

(2)(2)\quad 等式 nCr+nCr+1=n+1Cr+1{}_n \mathrm{C}_r + {}_n \mathrm{C}_{r+1} = {}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1} を用いて、8C3+8C4{}_8 \mathrm{C}_3 + {}_8 \mathrm{C}_4 の値を求めよ。

先ほどのパスカルの三角形の性質をそのまま使ってみよう！

等式 nCr+nCr+1=n+1Cr+1{}_n \mathrm{C}_r + {}_n \mathrm{C}_{r+1} = {}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1} において、n=8n=8, r=3r=3 とすると、

8C3+8C4=9C4{}_8 \mathrm{C}_3 + {}_8 \mathrm{C}_4 = {}_9 \mathrm{C}_4

となります。あとは 9C4{}_9 \mathrm{C}_4 を計算すればOKです。

9C4=9!4!⋅5!=9×8×7×64×3×2×1=302424=126‾{}_9 \mathrm{C}_4 = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = \underline{126}

直接 8C3{}_8 \mathrm{C}_3 と 8C4{}_8 \mathrm{C}_4 を別々に計算するより簡単ですね！

そうだね！確認のために別々に計算してみると、8C3=56{}_8 \mathrm{C}_3 = 56、8C4=70{}_8 \mathrm{C}_4 = 70 で、56+70=12656+70=126 となるよ。

パスカルの三角形の性質を使えば、二項係数の和を効率よく計算できるんだ。

このページのまとめ

ここではパスカルの三角形と二項係数の関係について学習しました。

パスカルの三角形の各数は二項係数 nCr{}_n \mathrm{C}_r に対応しており、隣り合う22つの数の和が次の行の数になるという性質（nCr+nCr+1=n+1Cr+1{}_n \mathrm{C}_r + {}_n \mathrm{C}_{r+1} = {}_{n+1} \mathrm{C}_{r+1}）は、二項係数の計算にとても便利です。

ぜひ活用できるようにしてくださいね！

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