二項定理

問題

$(1)\quad (2x-3)^5$の展開式における$x^3$の項の係数を求めよ。

$(2)\quad (1+x)^{10}$の展開式における$x^4$の項の係数を求めよ。

$(3)\quad$ 二項定理を利用して$1.02^5$の値を小数第$3$位まで求めよ。

解説

二項定理の問題について解説します。

二項定理って公式が難しそうで苦手です...

大丈夫！考え方を理解すれば自然と使えるようになるよ。

まずは公式を確認して、それからパスカルの三角形との関係も見ていこう！

$(a+b)^n$は$(a+b)$を$n$個かけ合わせたもの。その中から$b$を$k$個選ぶ（残り$n-k$個は$a$を選ぶ）方法が${}_n \mathrm{C}_k$通りあるということだよ。

なるほど、組合せの考え方なんですね！

ここで、二項定理の係数はパスカルの三角形とも関係しています。

パスカルの三角形を使えば、低い次数なら展開式の係数をすぐに読み取れるよ。

では、さっそく問題を解いていこう！

二項定理の一般項を使って、$x^3$の項だけを取り出そう。

$(2x-3)^5$において、$a=2x$, $b=-3$, $n=5$とすると、一般項は

と表されます。

$x^3$の項が出るのは$5-k=3$、つまり$k=2$のときですね！

その通り！$k=2$を代入して計算しよう。

よって、$x^3$の項の係数は$\underline{720}$です。

$(2x)^3 = 8x^3$と$(-3)^2 = 9$の部分を忘れずに計算してね。

符号にも注意！今回は$(-3)$の偶数乗だからプラスになったよ。

$(1+x)^{10}$において、$a=1$, $b=x$, $n=10$とします。一般項は

$x^4$の項は$k=4$のときなので、

よって、$x^4$の項の係数は$\underline{210}$です。

$(1+x)^n$の場合は$a=1$なので、係数がそのまま${}_n \mathrm{C}_k$になるんですね。

いいところに気づいたね！$(1+x)^n$の形は二項定理の最もシンプルな形だよ。

え、二項定理って数値の計算にも使えるんですか？

使えるよ！$1.02 = 1 + 0.02$と書き換えれば二項定理が適用できるんだ。

$1.02^5 = (1 + 0.02)^5$と変形して二項定理を適用します。

$0.02$のべき乗はどんどん小さくなるから、$k=3$以降の項はとても小さい値になるよ。

$k=3$の項は$0.00008$、$k=4$の項は$0.0000008$、$k=5$の項は$0.0000000032$と、非常に小さい値です。

これらは小数第$3$位に影響しないので無視できます。

したがって、

$k=2$までの$3$つの項で十分な精度が出るんですね！

そうだよ。$1$に近い数のべき乗を求めるときに、二項定理はとても便利なんだ。

「$1$との差」が小さいほど、少ない項数で精度の良い近似値が得られるよ。

ここでは二項定理の問題について学習しました。

二項定理の一般項 ${}_n \mathrm{C}_k \, a^{n-k} b^k$ を使えば、展開式の特定の項の係数を効率よく求められます。

また、$1$に近い数のべき乗の近似計算にも応用できます。繰り返し練習してマスターしてくださいね！