二項定理

問題

$(a+b)^6$の展開式において、 $a^3b^3$の項の係数を求めよ。

解説

二項定理の問題について解説します。

$(a+b)^6$なんて展開できないです$\cdots。$

暗記している公式は基本的には3乗までだからね。こういうときは二項定理を使うんだ！

二項定理が何かを説明します。まずは公式を見てみましょう。

二項定理は、$(a+b)^n$の形をした式を展開するのに便利ですが、

「展開しなさい」というような問題はあまり出題されません。

今回の問題のような、ある式を展開したときの係数を求めよ、というような問題が出題されることが多いです。

式を見るとたくさんの項があるように見えますが、係数を求める問題で実際に計算するのは1つの項だけで済みます。

二項定理の公式は暗記しなきゃだめですか？

公式自体は覚える必要ないよ。

公式の意味と考え方を学習して使いこなせるようになろう！

それでは実際に解いていきましょう！

二項定理を実際に使っていくときの考え方を説明していきます。

問題文では、$a^3b^3$の項の係数が問われていますね。

さて、$(a+b)^6$というのはつまり$(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$のことです。

ここから$a^3b^3$の項が出てくるのはどういうときでしょうか？

$6$個の$(a+b)$の中で$a$が$3$回、$b$が$3$回選ばれた時です。

その通り！それが何通りあるか分かるかな？

どういうことですか？

$6$個の$(a+b)$の中で$a$が$3$回、$b$が$3$回選ばれる項というのは何個か考えられますね。

例えば、$(a+b)$から$a$を選んだことを$\large \underline{a}$と表記すれば、$(a+b)^6$で$\large \underline{aaabbb}$というように選べば$a^3b^3$になります。

その他にも、${\large \underline{aabbba}}や{\large \underline{abbbaa}},{\large \underline{bbbaaa}}$など思い浮かべるだけでもたくさんありますね。これらは何通りあるのでしょうか？

結論から言うと$20$通りです。$3$つの$a$と$3$つの$b$を並べる問題だと考えましょう。

これは同じものを含む順列の問題だと考えることができるね。

$\frac{6!}{3!3!}={}_6 \mathrm C_3=20$通りと求められますね。

つまり、$6$個のカッコの中から$3$個の$a$を選んでいるので${}_6 \mathrm C_3$です。

$6$個のカッコの中から$3$個の$b$を選んでいるので${}_6 \mathrm C_3$と考えても良いです。

$a^3b^3$が${}_6 \mathrm C_3$個あるので掛け合わせると${}_6 \mathrm C_3 \times a^3b^3=20a^3b^3$となります。

よって、$a^3b^3$の項の係数は$\underline{20}$となります。

この考え方を理解しておこう！

二項定理の問題について解説しました。

最初はイメージを掴むのが難しいかもしれませんが、係数を求める問題のイメージを掴めたでしょうか？

苦手意識のある人も多く、差がつく部分でもあるのでマスターしてくださいね！