相加平均と相乗平均の関係④

問題

$x>3$のとき、$\frac{x^2-6x+13}{x-3}$の最小値を求めよ。

解説

相加平均と相乗平均の関係を使う問題を解説していきます。

相加相乗平均の関係は、掛けたら定数になる形のときに使うんですよね。どこみてもそんな式見当たりません。

確かにそうだね。

では、相加相乗平均とか関係なしにこの問題が出題されたらどのように解くかな？

うーん、最小値を求めたいから$\cdots$

分かりません。

「最小値」を求めるときに使えるテクニックとしては大きく分けて以下のようなものがあるよ。

1. (2次関数の場合)平方完成する
2. 微分する
3. 相加平均と相乗平均の関係を使う
4. (与式)=$k$と置いて$k$の範囲を考える

たくさんあるんですね。

でもこの問題を見たときに相加相乗平均の関係を使うという考えを思いつけるかどうか分かりません。

どの解法を使うにしろまずやってほしいことがあるんだ。

与式には、分母と分子のどちらにも$x$があるよね。

基本的に最小値を求めたいなら分母を大きくすればいいけれど、そうすると分母の$x$を大きくしようとすると分子の$x$も大きくなってしまうんだ。

だから分数にある変数を分子か分母だけにまとめよう。

$\frac{x^2-6x+13}{x-3}$の分母と分子の変数を1箇所にまとめるために、分子を分母で割りましょう。

$\frac{x^2-6x+13}{x-3} =\underline{ x-3+\frac{4}{x-3}}$となりますね。

この式を見たらどうかな？

相加相乗平均の関係が使えそうです！

この問題は相加相乗平均の関係を使うことに気付けない場合でも、別の解法で解くことはできます。

しかし、相加相乗平均の関係を使ったほうが簡単に素早く求めることができます。

問題文の式を見た段階では相加相乗平均の関係が使えるとは気付けないかもしれないけど、変数を一箇所に集めてからなら使えることに気づけるよね。

相加相乗平均の関係を使って問題を解きましょう。

必ず$x-3$と$\frac{4}{x-3}$が$0$より大きいことと、等号成立の条件を確認することを忘れないようにしてね。

最後に、相加相乗平均の関係を思いつかなかった場合どのような解法があるかを教えるね。

冒頭でも述べたように、最小値を求める問題では以下のようなアプローチが有効です。

1. (2次関数の場合)平方完成する
2. 微分する
3. 相加平均と相乗平均の関係を使う
4. (与式)=$k$と置いて$k$の範囲を考える

順番に見ていきましょう。

変数を一箇所に集めると$2$次関数ではないのでこの方法はダメそうです。

相加相乗平均の次に簡単に最小値を求められそうなのはこの方法ですね。

しかし$x-3+\frac{4}{x-3}$を微分するためには数学Ⅲの知識が必要なのでここでは紹介しませんが、微分できる人はこの方法で解いてももちろんOKです。

今回この解法を紹介しました。

使えると気づけた問題には積極的に使っていきましょう！

数学Ⅱまでの知識で相加相乗平均の関係を使わずに解くならこの方法も選択肢としては悪くありません。

ざっくりとした方針を示すと、$x-3+\frac{4}{x-3}=k$として整理すると2次方程式が出てくるので$x>3$で実数解を持つ条件を考え、最小値を特定します。

しかし、式を整理する段階で文字が煩雑となる上に計算量も多くなってしまうので、やはり相加相乗平均の関係を使うのがベストです。

ここでは相加相乗平均の関係が使える問題について解説しました。

最初は相加相乗平均の関係を使えると気付けなくても、次似たような問題を見たときには必ず使えるように何度も練習しておきましょう！