相加平均と相乗平均の関係③

問題

$x>0$のとき、$\left(x+\frac 1 x\right)\left (x+\frac 4 x\right )$の最小値を求めよ。

解説

相加相乗平均の関係を使う問題を解説します。

すごい相加相乗平均の関係使いたくなる式ですね！

いいね。問題をみてすぐに気づけるかどうかはとても重要だよ。

まず、この問題を解く際によくある間違いを紹介します。

$x>0$より$x+\frac{1}{x}$と$x+\frac{4}{x}$のどちらにも適用できるから$\cdots$

これは間違っているよ。なぜだか分かるかな？

分かりません。なぜですか？

まず、相加相乗平均を使ったら等号成立条件を確認しよう。

・${x+\frac{1}{x}\geqq 2}となるのは{x=\frac{1}{x}}$のとき、つまり$x=1$のとき。

・${x+\frac{4}{x} \geqq 4}となるのは{x=\frac 4 x}$のとき、つまり$x=2$のとき。

${x=1}と{x=2}$の別々のところで最小値を取っていますね。

つまり、別々に相加相乗平均の関係を適用して最小値を求めたけれど、$\left(x+\frac 1 x\right)\left (x+\frac 4 x\right )\geqq 2\cdot 4$の「等号($=$)」を満たすような$x$は存在しないんだ。

ここから分かることは$\left(x+\frac 1 x\right)\left (x+\frac 4 x\right )> 2\cdot 4$であることだけであり、等号は成り立ちません。そのため最小値は$8$にはなりません。

このよくある間違いのように解くこと自体は悪くないんだ。最小値をとる$x$が同じであればそれが答えになるんだけれど、今回の問題のように別の$x$で最小値を取っていた場合この方法では最小値を求めることはできないよ。

ではどのように解くのが正解なんですか？

式の形がこのままだと相加相乗平均の関係を使っても最小値が求められないから、とりあえず展開してみようか。

展開すると、$\left(x+\frac 1 x\right)\left (x+\frac 4 x\right )=\underline{x^2+\frac{4}{x^2}}+5$になります。

$x^2+\frac{4}{x^2}$の部分に相加相乗平均の関係を適用できそうです！

そうだね。

展開した式に相加相乗平均の関係を適用すれば、等号成立条件は1つだけ考えればよくなるよね。

展開した式に相加相乗平均の関係を適用していきましょう。

まずは適用できるかどうか条件を確認します。

問題文より、$x>0$だったので${x^2>0}で{\frac{4}{x^2}>0}$ですね。

相加相乗平均の関係より、$x^2+\frac{4}{x^2}+5\geqq 2\sqrt{x^2\cdot \frac{4}{x^2}}+5=9$

等号は$x^2=\frac{4}{x^2}$のとき、つまり$x=\sqrt{2}$のとき成立します。

以上より、$x=\sqrt{2}$のとき最小値$\underline{9}$となります。

等号が成立するかどうかを確認し忘れないようにしてね。

ここでは相加相乗平均の関係を用いる問題について解説しました。

最初に示した誤った回答が、なぜ間違っているのか理解することができたでしょうか？

色々な問題を解いてマスターしていきましょう！