相加平均と相乗平均の関係②

問題

$x>0$のとき、$x+\frac{2}{x}$の最小値を求めよ。

解説

相加平均と相乗平均の関係の問題について解説します。

この問題を見て相加平均と相乗平均の関係を使う問題だと見抜けたかな？

はい。掛け合わせたら定数になるものを見たら相加平均と相乗平均の関係が使えないかを確認した方がいいんでしたよね。

その通り。相加平均と相乗平均の関係を使う問題で重要になってくるのは、その問題が相加相乗平均の関係を使うと見抜けるかどうかだからね。

公式も確認しておきましょう。

最小値や最大値を求める問題でこの関係を使うときは、必ず等号が成り立っていることを確認するようにしてね。

それでは問題を見ていきましょう。

相加相乗平均の関係は$\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt {ab}$という形をしていますが、実際は両辺に$2$を掛けた$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$という形で使うことが多いです。

$a>0,b>0$のとき$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$と覚えておこう。

そして、相加相乗平均の関係を使って最小・最大値を求めるときは、以下のステップで行いましょう。

1. $a>0,b>0$であることを$\textcolor{red}{必ず}$確認する
2. 相加相乗平均の関係を用いる
3. 等号が成立することを$\textcolor{red}{必ず}$確認する

具体的にみていきます。

問題文には$x>0$と書かれているので、$x$と$\frac{2}{x}$はどちらも条件を満たしていますね。

この確認する作業は応用問題になればなるほど忘れてしまいがちですが、必ず相加相乗平均の関係が適用できるかどうかを最初に確認(記述)する癖をつけましょう。

$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$という形で覚えている関係を適用しましょう。

$和=2\sqrt{積}$と覚えるのがオススメです。

$x+\frac{2}{x} \geqq 2\sqrt{x\cdot \frac 2 x}=2\sqrt{2}$となりますね。

このステップは忘れがちですが、「必ず」必要な作業です。

②までだと$x+\frac 2 x\geqq 2\sqrt{2}$だということしか分かっていません。

そのため、最小値が$2\sqrt{2}$であるかどうかはまだ分かりません。

等号が成り立つかどうかを確認することにより、最小値を確定することができます。

等号成立は$x=\frac 2 x$のときなので、$x>0$であることに注意すると$x=\sqrt{2}$となりますね。等号が成り立つ場合があったため、最小値が$2\sqrt{2}$であることが分かります。

以上より、$x=\sqrt{2}$のとき最小値$\underline{2\sqrt{2}}$となります。

必ず必要な確認を行ってから計算をしていこう。

ここでは相加相乗平均の関係を使った問題について解説しました。

基本的な使い方については理解できたでしょうか？

使いこなせるように何度も練習して、マスターしてくださいね！