どうしてこの式を相加相乗平均に持っていけるの？

相加平均と相乗平均の関係①では、式と証明について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

相加平均と相乗平均の関係①の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

相加平均と相乗平均の関係①の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

式と証明の答えと条件を先に確認できます。

相加平均と相乗平均の意味の説明とその関係の証明を行っていきます。

まずは、公式を見てみましょう。

意味が分かりません。この関係から何がわかるんですか？

順番に説明していくね。まずは「相加平均」と「相乗平均」の言葉の意味から理解していこう。

まず、「 $a$ と $b$ の平均を求めて」と言われたらどうやって計算するかな？

平均ですか？ $a$ と $b$ を足して $2$ で割って、 $\frac{a+b}{2}$ です。

そうだよね。今まで「平均」と言われたら足して $2$ で割っていたよね。

そうやって求める平均のことを「相加平均」というんだ。

なるほど。

私はいままで「平均」と言われたとき、無意識に「相加平均」を求めていたんですね。

そうだね。

そして、平均には「相加平均」だけじゃなくて「相乗平均」というものもあるんだ。

相乗平均は、値を掛け合わせたものを値の個数である $n$ で $n$ 乗根をとります。たとえば $a$ と $b\;(a>0,b>0)$ の相乗平均は $\sqrt{ab}$ となります。

${a\geqq 0},{ b\geqq 0}$ のとき、「 $a$ と $b$ の相加平均は相乗平均以上になる」というのが相加平均と相乗平均の関係が言っていることなんだ。

等号が成立するのは $a=b$ のときだよ。

なるほど。具体的にどのような問題でこの関係を使うんですか？

たとえば「 $x+\frac{2}{x}$ の最小値を求めよ」とか、和で表されているもので掛け合わせたら定数になる式に有効だよ。

$x \times \frac 2 x =2$ のように定数になっているよね。

具体的にどのように問題を解くのに使うのかについては、別のページで例題を扱っているのでそちらで学習してみてくださいね。

ここからは、この関係が成り立つことの証明を行っていきます。

[証明]

${a>0},{b>0}$ のとき、 $\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt {ab}$ が成り立つことを証明せよ。

$\frac{a+b}{2}- \sqrt {ab} \geqq 0$ が成り立つことを示せばよい。

両辺に $2$ をかけて整理すると、 $\sqrt{a^2}-2\sqrt{ab}+\sqrt{b^2}\geqq 0$ より

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqq 0$ となり、不等式が成り立つ。

また $\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 、つまり $a=b$ のときに等号は成り立つ。

このページのまとめ

ここでは相加平均と相乗平均の関係について説明しました。

具体的な使い方は別のページで説明しているので、ぜひそちらでも学習してくださいね！

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