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指数・対数・三角関数

3倍角の公式

$\sin 3\alpha$, $\cos 3\alpha$

指数・対数・三角関数の「3倍角の公式」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$\sin 3\alpha$, $\cos 3\alpha$」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約13分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

3倍角の公式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$\sin 3\alpha$, $\cos 3\alpha$の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: sin⁡3α\sin 3\alpha, cos⁡3α\cos 3\alpha
  • ポイント: 指数・対数・三角関数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

(1)(1)\quad 加法定理と2倍角の公式を用いて、3倍角の公式を導け。

(2)(2)\quad sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha を用いて、sin⁡20°\sin 20° が満たす3次方程式を作れ。

答えを見る

(1)  (1)\; sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α‾\sin 3\alpha = \underline{3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha}

   \quad\;\, cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α‾\cos 3\alpha = \underline{4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha}

(2)  (2)\; x=sin⁡20°x = \sin 20° とおくと、8x3−6x+3=0‾\underline{8x^3 - 6x + \sqrt{3} = 0}

解説

3倍角の公式について解説します。

3倍角の公式って覚えないといけませんか？

覚えていると便利だけど、加法定理と2倍角の公式から導けるから、導出方法を理解しておくことが大切だよ！

まずは使う公式を確認しておきましょう。

(1)(1)\quad 加法定理と2倍角の公式を用いて、3倍角の公式を導け。

3α=2α+α3\alpha = 2\alpha + \alpha と考えて、加法定理を使うのがポイントだよ！

まず sin⁡3α\sin 3\alpha を導出しましょう。

sin⁡3α\sin 3\alpha
=sin⁡(2α+α)= \sin(2\alpha + \alpha)
=sin⁡2αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡α= \sin 2\alpha \cos\alpha + \cos 2\alpha \sin\alpha

ここで2倍角の公式 sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha、cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha を代入します。

=2sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡α+(1−2sin⁡2α)⋅sin⁡α= 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \cos\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha) \cdot \sin\alpha
=2sin⁡αcos⁡2α+sin⁡α−2sin⁡3α= 2\sin\alpha\cos^2\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha

cos⁡2α\cos^2\alpha が残ってしまいました...

cos⁡2α=1−sin⁡2α\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha を使って、すべて sin⁡α\sin\alpha で表そう！

=2sin⁡α(1−sin⁡2α)+sin⁡α−2sin⁡3α= 2\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha) + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha
=2sin⁡α−2sin⁡3α+sin⁡α−2sin⁡3α= 2\sin\alpha - 2\sin^3\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha
=3sin⁡α−4sin⁡3α‾= \underline{3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha}

次に cos⁡3α\cos 3\alpha を導出しましょう。

cos⁡3α\cos 3\alpha
=cos⁡(2α+α)= \cos(2\alpha + \alpha)
=cos⁡2αcos⁡α−sin⁡2αsin⁡α= \cos 2\alpha \cos\alpha - \sin 2\alpha \sin\alpha

2倍角の公式 cos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1、sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha を代入します。

=(2cos⁡2α−1)⋅cos⁡α−2sin⁡αcos⁡α⋅sin⁡α= (2\cos^2\alpha - 1) \cdot \cos\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \sin\alpha
=2cos⁡3α−cos⁡α−2sin⁡2αcos⁡α= 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha

sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha を代入して、

=2cos⁡3α−cos⁡α−2(1−cos⁡2α)cos⁡α= 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha)\cos\alpha
=2cos⁡3α−cos⁡α−2cos⁡α+2cos⁡3α= 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha + 2\cos^3\alpha
=4cos⁡3α−3cos⁡α‾= \underline{4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha}

(2)(2)\quad sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha を用いて、sin⁡20°\sin 20° が満たす3次方程式を作れ。

3×20°=60°3 \times 20° = 60° だから、α=20°\alpha = 20° として3倍角の公式を使うんだ！

α=20°\alpha = 20° のとき、3α=60°3\alpha = 60° です。

3倍角の公式 sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha に α=20°\alpha = 20° を代入すると、

sin⁡60°=3sin⁡20°−4sin⁡320°\sin 60° = 3\sin 20° - 4\sin^3 20°

sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} なので、

32=3sin⁡20°−4sin⁡320°\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sin 20° - 4\sin^3 20°

x=sin⁡20°x = \sin 20° とおくと、

32=3x−4x3\frac{\sqrt{3}}{2} = 3x - 4x^3
4x3−3x+32=04x^3 - 3x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0

両辺を2倍して整理すると、

8x3−6x+3=0‾\underline{8x^3 - 6x + \sqrt{3} = 0}

3\sqrt{3}がありますが、有理数係数の方程式は作れますか？

いい質問だね！有理数係数の方程式を作りたい場合は、cosの3倍角を使うといいよ。

cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2} を使って、cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha で α=20°\alpha = 20° とすると、

x=cos⁡20°x = \cos 20° に対して 8x3−6x−1=08x^3 - 6x - 1 = 0 が得られるんだ。

このように3倍角の公式を使うと、sin⁡20°\sin 20° や cos⁡20°\cos 20° のような特殊な角度の値が満たす方程式を作れるんだ。

これは大学入試でも出題されることがあるから、覚えておこう！

このページのまとめ

ここでは3倍角の公式の導出と応用について学習しました。

3倍角の公式は加法定理と2倍角の公式から導けますが、覚えていると計算が楽になります。

ぜひ覚えてすぐに使えるようにしてくださいね！

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