累乗根の大小比較

問題

次の数を小さい順に並べよ。

解説

指数の問題について解説します。

指数を含んだ数の大小を比較するときは、$a^n$の$a$の部分を統一します。

$a_n$の$a$の部分を$\textcolor{red}{底（てい）}$と言います。

まずは、与えられた数の$\sqrt{}$を外していきましょう。

$\Large {2^{\frac{1}{3}},4^{\frac{1}{4}}, 8^{\frac{1}{4}}, 16^{\frac{1}{6}}}$となりますね。

次に大小を比較するために、底を統一していきます。

$a^n$の$a$の部分を全て$2$に統一できそうだね。

$\Large {4^{\frac{1}{4}}}$は、$4$が$2^2$なので指数部分の掛け算を行い$\Large {2^{\frac{1}{2}}}$です。

$\Large {8^{\frac{1}{4}}}$は$8$が$2^3$なので同様に$\Large 2^{\frac{3}{4}}$、

$\Large {16^{\frac{1}{6}}}$は$16$が$2^4$なので同様に$\Large 2^{\frac{2}{3}}$となります。

これで与えられたすべての数字の底を統一することができました。

指数部分だけを列挙すると、$\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{2}{3}$となるのであとはこれを並び替えるだけの問題になりました！

ただの分数の大小比較ならできるね。

これを並び替えると、$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$となります。

この順番に元の数字を並べればいいんですね！

その通り！ だけどもう1つ、気をつけなければならないことがあるんだ。

この問題を解くとき、底を$2$に統一しました。

先ほど指数の部分だけで大小を比較して並び替えましたが、この順番通りに元の数字を並べればそれが必ず正解となるのでしょうか？

結論から言うとなりません。底が$1$より大きければなります。

なので解答を書く時は、指数の部分の大小比較が終わったら$\textcolor{red}{底が1より大きいから}$という文章を忘れずに書きましょう。

この例題では、以下のように解答します。

底が$1$より小さかったらどうなるんですか？

実際に考えてみよう。底が$0.5$である$2$つの数字、$(0.5)^2$と$(0.5)^3$を比較してみよう。

指数部分だけだったら$2<3$だね。でも実際の値は$0.25$と$0.125$だね。

底が$1$より小さい場合は指数部分が大きいほど数字が小さくなるんだ。

本当ですね！だから底には気をつけなければいけないんですね！

ここでは指数の問題について解説しました。

指数は高校数学で何度も出てきます。基本的な変形などは素早く行えるようになりましょう！