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指数・対数・三角関数

指数法則（有理数指数への拡張）

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

指数・対数・三角関数の「指数法則（有理数指数への拡張）」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約11分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

指数法則（有理数指数への拡張）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ:
    amn=amna^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}
  • ポイント: 指数・対数・三角関数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の値を求めよ。

(1)823(1)\quad 8^{\frac{2}{3}}
(2)27−13(2)\quad 27^{-\frac{1}{3}}
(3)(14)−32(3)\quad \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}

答えを見る

(1)  (1)\; 4‾\underline{4}

(2)  (2)\; 13‾\underline{\dfrac{1}{3}}

(3)  (3)\; 8‾\underline{8}

解説

指数法則と有理数指数の問題について解説します。

a23a^{\frac{2}{3}}とか、指数が分数になっているのがよくわからないです...

大丈夫！順番に説明していくよ。

まずは整数の指数法則を復習して、それを分数（有理数）に拡張していこう。

まずは整数の指数法則から確認しましょう。

これらの法則は数学Iでも学んだものですね。ここからさらに指数を有理数（分数）に拡張していきます。

指数が分数になるって、どういう意味ですか？

いい質問だね。そのためにまず「累乗根」について理解しよう。

なるほど、83\sqrt[3]{8}は「3乗したら8になる数」ということですね！

その通り！そして、この累乗根を指数で表すのが有理数指数なんだ。

累乗根と指数の関係を確認しましょう。

この定義によって、指数法則 (1)\text{(1)}〜(4)\text{(4)} は有理数指数でもそのまま成り立ちます。

つまり、a1n=ana^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} と定義するのは、指数法則 (2)\text{(2)} (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn} が成り立つようにするためなんだ。

(a1n)n=a1n×n=a1=a(a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{1}{n} \times n} = a^1 = a となるから、a1na^{\frac{1}{n}} は「nn乗すると aa になる数」、つまり an\sqrt[n]{a} だね。

それでは問題を解いていきましょう！

(1)823(1)\quad 8^{\frac{2}{3}}

8238^{\frac{2}{3}} を計算します。8=238 = 2^3 なので、

8238^{\frac{2}{3}}
=(23)23= (2^3)^{\frac{2}{3}}
=23×23= 2^{3 \times \frac{2}{3}}
=22= 2^2
=4‾= \underline{4}

ポイントは、底を素因数分解して指数法則 (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} を使うことだよ。

(2)27−13(2)\quad 27^{-\frac{1}{3}}

27−1327^{-\frac{1}{3}} を計算します。27=3327 = 3^3 で、マイナスの指数は逆数にします。

27−1327^{-\frac{1}{3}}
=(33)−13= (3^3)^{-\frac{1}{3}}
=33×(−13)= 3^{3 \times (-\frac{1}{3})}
=3−1= 3^{-1}
=13‾= \underline{\dfrac{1}{3}}

マイナスの指数が出てきたら逆数にすればいいんですね！

その通り！a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} だね。

(3)(14)−32(3)\quad \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}

(14)−32\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} を計算します。14=2−2\dfrac{1}{4} = 2^{-2} なので、

(14)−32\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}
=(2−2)−32= (2^{-2})^{-\frac{3}{2}}
=2(−2)×(−32)= 2^{(-2) \times (-\frac{3}{2})}
=23= 2^3
=8‾= \underline{8}

マイナス ×\times マイナスでプラスになるね。符号の計算に気を付けよう！

底を素因数分解して、指数法則で計算するのがコツなんですね！

その通り！最後に、累乗根と指数表記の変換もまとめておこう。

累乗根を指数で表したり、指数を累乗根で表したりする変換も重要です。

このページのまとめ

ここでは指数法則の有理数指数への拡張について学習しました。

ポイントは、底を素因数分解してから指数法則 (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} を使うことです。

有理数指数の計算は指数関数・対数関数の基礎になるので、しっかりマスターしてくださいね！

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