指数関数のグラフ

問題

指数関数$y=2^x$と$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$のグラフの特徴を述べ、次の各問に答えよ。

$(1)\quad$ $2^x>4$を満たす$x$の範囲を求めよ。

$(2)\quad$ $3$つの数$2^{0.5}$, $2^{-1}$, $2^{1.5}$を小さい順に並べよ。

解説

指数関数のグラフについて解説します。

指数関数ってどんな関数ですか？

$a$を正の定数（$a \neq 1$）とするとき、$y=a^x$の形で表される関数を指数関数というよ。

まずは定義と基本的な性質を確認しよう！

なぜ$a \neq 1$なんですか？

$a=1$だと$y=1^x=1$となって、ただの定数関数になってしまうからだよ。

指数関数としての面白い性質がなくなってしまうんだ。

それでは、底$a$の値によってグラフがどう変わるか見ていきましょう。

$a>1$のとき、グラフは右上がりになるよ。

$x$が増加すると$y$も増加する、つまり単調増加だね。

$0<a<1$のとき、グラフは右下がりになるよ。

$x$が増加すると$y$は減少する、つまり単調減少だね。

$y=2^x$と$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$のグラフには何か関係がありますか？

いいところに気づいたね！

$\left(\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}$だから、$y=2^x$のグラフを$y$軸に関して対称に折り返したものなんだ。

底が$1$より大きいか小さいかで、不等号の向きが変わるんですね！

その通り！グラフの形と対応させて覚えるといいよ。

右上がりなら大小はそのまま、右下がりなら大小が逆転するんだ。

それでは問題を解いていきましょう。

まず$4$を$2$の累乗で表してみよう。

$4=2^2$なので、不等式は$2^x>2^2$と書き直せます。

底$2>1$なので、指数関数$y=2^x$は単調増加です。

したがって、指数部分の大小がそのまま関数値の大小になるので、

よって、$\underline{x>2}$

グラフを見ると、$x=2$のとき$y=4$で、$x>2$の部分で$y>4$になっているのが確認できるね。

$3$つとも底が$2$で同じだね。底の値に注目しよう。

底$2>1$なので、指数関数$y=2^x$は単調増加です。

つまり、指数部分が大きいほど関数値も大きくなります。

指数を比較すると、$-1<0.5<1.5$ です。

底$2>1$で単調増加なので、指数の大小がそのまま保存され、

よって、小さい順に $\underline{2^{-1}<2^{0.5}<2^{1.5}}$

もし底が$\frac{1}{2}$だったら、不等号の向きが逆になるんですね！

その通り！底が$0<a<1$のときは単調減少だから、指数が大きいほど関数値は小さくなるよ。

底の値が$1$より大きいか小さいかを必ず確認しようね。

ここでは指数関数$y=a^x$のグラフの特徴について学習しました。

$a>1$のときは単調増加（右上がり）、$0<a<1$のときは単調減少（右下がり）で、すべてのグラフが点$(0,1)$を通ります。

指数関数の大小比較では、底が$1$より大きいか小さいかで不等号の向きが変わるので注意してくださいね！